Odwzorowanie liniowe.

[a4karo]

To mocno ryzykowne stwierdzenie, żę wymiar obrazu wynosi 1.
Jak masz wektor \(\displaystyle{ (y_1,\dots,y_m)}\) w \(\displaystyle{ \RR^m}\) to kiedy znajdziesz \(\displaystyle{ (x_1,\dots,x_n)\in\RR^n}\) takie, że \(\displaystyle{ y_1=x_1-x_2, y_2=x_3-x_4,\dots}\) ?

[blade]

Wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\)-ów będzie dwa razy więcej, bo na jednego \(\displaystyle{ y}\) przypadają dwa \(\displaystyle{ x}\), ale nadal nie wiem, co z tym obrazem, resztę (poza wymiarem) dobrze wyznaczyłem ? Jeśli tak, to wymiar obrazu musi być \(\displaystyle{ 0}\), ale nie wiem na jakiej podstawie.

[a4karo]

NIe. Wymiar jądra to \(\displaystyle{ m}\) i wymiar obrazu to \(\displaystyle{ m}\).

Pokaż, że ukłąd równań o którym pisałem ma rozwiązanie dla dowolnych \(\displaystyle{ y_1,\dots,y_n}\)
To będzie znaczyło, że dowolny wektor ygreków leży w obrazie.

[blade]

NIe. Wymiar jądra to \(\displaystyle{ m}\) i wymiar obrazu to \(\displaystyle{ m}\).

Hm, no tak, bo mam nie \(\displaystyle{ n}\) lecz \(\displaystyle{ n/2=m}\) wektorów w bazie jądra
ale trochę nie rozumiem jak pokazać

Pokaż, że ukłąd równań o którym pisałem ma rozwiązanie dla dowolnych \(\displaystyle{ y_1,\dots,y_n}\)
To będzie znaczyło, że dowolny wektor ygreków leży w obrazie. 

w sensie mam wektor \(\displaystyle{ (y_1,\dots,y_m) \in \mathbb R^m}\)
i mam pokazać, że \(\displaystyle{ \forall_{y_i,i \in \{1,...,n\}} : y_1=x_1 - x_2, y_2 = x_3 - x_4, \dots}\)
Tylko, nie bardzo rozumiem, bo to jest w zadaniu, w sensie w odwzorowaniu. Chyba, źle Cię zrozumiałem.

[a4karo]

Hm, no tak, bo mam nie n lecz n/2=m wektorów w bazie jądra
ale trochę nie rozumiem jak pokazać

Przecież wypisałeś bazę jądra. Po prostu policz sztuki


Obraz to zbiór takich \(\displaystyle{ \mathbf{y}\in \RR^m}\) dla których istnieje \(\displaystyle{ \mathbf{x}\in \RR^n}\) taki, że \(\displaystyle{ \mathbf{y}=f(\mathbf{x})}\). A zatem musisz rozwiązać ten układ różnań, który napisałem wyżej. Da się to zrobić dla każdego \(\displaystyle{ \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_m)}}\)??

[blade]

Nie, nie, ja rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \dim ker f = m}\)
Zdanie "ale nie rozumiem jak pokazać", tyczyło się już zacytowanego przeze mnie tekstu.
Wracając do równania to nadal nie rozumiem, tego o czym pisałeś, ale wiem jak znaleźć bazę obrazu.
Jak już napisałem wyżej
\(\displaystyle{ im f = Lin \left\{ (1,0,\cdots,0) + (-1,0,\cdots,0)+ \cdots +(0,0,\cdots,1) + (0,0,\cdots,-1)\right\}}\)
Błędnie oceniłem, że wszystkie wektory są liniowo zależne.
Teraz widzę, że wektorami zależnymi są tylko te, które mają jedynki bądź minus jedynki na tym samym miejscu, czyli
pierwszy i drugi - zależne
trzeci i czwarty - zależne... i tak dalej.
W związku z tym do bazy wybieram tylko po jednym wektorze z tych zależnych między sobą, co wyglądało by tak :
\(\displaystyle{ B_{im f} = \left\{ (1,0,\dots,0),(0,1,\dots,0),\dots,(0,\dots,1)\right\}}\)
A tutaj widać, że "składników" w bazie jest \(\displaystyle{ n/2 = m}\)
oraz spełnione jest równanie \(\displaystyle{ \dim ker f + \dim im f = \dim R^n \Rightarrow \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n}\)
Dzięki za pomoc (choć nie wiedziałbym jak rozwiązać to równanie, ale tak bym to próbował wytłumaczyć, jak wyżej)

[a4karo]

\(\displaystyle{ im f = Lin \left\{ (1,0,\cdots,0) + (-1,0,\cdots,0)+ \cdots +(0,0,\cdots,1) + (0,0,\cdots,-1)\right\}=\Lin \{(0,0,\dots,0)\}=\{0\}}\)

jesteś pewien, że to miało wyjść?

(choć nie wiedziałbym jak rozwiązać to równanie, ale tak bym to próbował wytłumaczyć, jak wyżej)

no bez żartów: to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań: jedno z nich to \(\displaystyle{ (y_1,0,y_2,0,\dots,y_m,0)}\)

[blade]

Tam kopiowalem, nie wiem skad wziely sie te plusy. Mialy byc przecinki oczywiscie