Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 2 kwie 2015, o 10:05

Mam znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ U \subset R^{4}}\), \(\displaystyle{ U=span \left\{ (0,1,0,0),(-1,-1,0,0),(-1,0,0,1),(-2,0,0,-1)\right\}}\)

Sprawdziłam, że wszystkie te wektory są liniowo zależne, bo jedna z ich współrzednych (trzecia) jest zawsze zerowa. W takim razie żadne nawet dowolne dwa z nich nie generują przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\).

Co w takim razie z wymiarem i bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\)?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 kwie 2015, o 10:55

Oblicz rząd macierzy, której wiersze są współrzędnymi tych wektorów. To będzie wymiar obrazu.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 2 kwie 2015, o 11:30

Rząd macierzy wychodzi równy cztery. Jakiego obrazu? Przecież nie mamy tu odwzorowania.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 kwie 2015, o 11:35

Sama napisałaś wcześniej, że te wektory sa liniowo zależne. Jak zatem rząd może być 4?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 2 kwie 2015, o 11:56

Ok, pomyliłam się rząd będzie trzy.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 7 kwie 2015, o 00:13

A więc tak, mamy 4 wektory:

\(\displaystyle{ a = \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\\0\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ b = \left[\begin{array}{ccc}-1\\-1\\0\\0\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ c = \left[\begin{array}{ccc}-1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ d = \left[\begin{array}{ccc}-2\\0\\0\\-1\end{array}\right]}\)

Najpierw powiedzmy sobie czym jest baza:
\(\displaystyle{ Baza -}\) to zbiór liniowo niezależnych wektorów, z których da stworzyć kombinację liniową każdego innego w tej przestrzeni(nieformalna definicja bo formalnych nie znam

Wiec najpierw musisz sobie te wektory wrzucić w macierz ja polecam poziomo i nastepnie metoda Gaussa doprowadzić do macierzy schodkowej lub inaczej trójkatnej. Te wektory które nie skrócą się mogą tworzyć bazę. Ale jeszcze należy sprawdzić czy każdy wektor da sie przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazowych.
Tzn. należy sprawdzić rozwiązywalność układu:

\(\displaystyle{ \alpha _{1} *a + \alpha _{2} *b + \alpha _{3} *c + \alpha _{4} *d = (x, y, z, t)}\)

gdzie a, b, c, d to są te nasze wektory(oznaczenia przyjąłem przypadkowe).
Powyższe równanie napisałem dla 4 wektorów liniowo niezależnych a pisałaś że są liniowo zależne wiec w równaniu uwzględniasz tylko wektory liniowo niezależne.
I jeśli wektory te spełniają również to kryterium to tworzą bazę. Czyli można napisać ze baza to np.
\(\displaystyle{ B = (a, b, c, d)}\)
gdy wszystkie podane wektory tworzą bazę.

zaś wymiar:
\(\displaystyle{ Wymiar -}\)to liczba liniowo niezależnych wektorów.
Więc wyznaczając baze odrazu dowiadujemy sie o tym jaki wymiar ma dana podprzestrzeń.

Pozdrawiam
Piter9414

W razie wątpliwości czy dalszych problemów proszę śmiało pytać

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 7 kwie 2015, o 11:04

Czy przy sprawdzaniu rzędu macierzy kolejność wpisywania ich w macierz jak równeiż to, czy zrobię to wierszami czy kolumnami ma znaczenie? Bo wydaje mi się, że nie.

Wyszło mi, że liniowo niezależne są wektory: \(\displaystyle{ (-1,-1,0,0),(-2,0,0,-1),(-1,0,0,1)}\).
Teraz sprawdzam, czy generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\). No właśnie i tu sprawa jest jasna, bo wektorów tych jest za mało, by generowały całą \(\displaystyle{ R^{4}}\).
Gdy zapiszę równanie: \(\displaystyle{ \alpha_{1} (-1,-1,0,0)+\alpha_{2} (-2,0,0,-1)+\alpha_{3} (-1,0,0,1) =(x,y,z,t)}\) to od razu to widać. Trzecia współrzędna będzie zawsze zerowa, a to tylko cześć wektorów z \(\displaystyle{ R^{4}}\). Co zatem zrobić? Przecież nie mogę zapisac: \(\displaystyle{ \alpha_{1} (-1,-1,0,0)+\alpha_{2} (-2,0,0,-1)+\alpha_{3} (-1,0,0,1) =(x,y,z)}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 kwie 2015, o 17:53

Trzy wektory nie mogą generowac \(\displaystyle{ \RR^4}\). Zadanie było: znajdz wymiar i bazę \(\displaystyle{ U}\). Masz wektory liniowo niezależne, które rozpinaja \(\displaystyle{ U}\). Czego więcej trzeba?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 8 kwie 2015, o 23:03

Wektory \(\displaystyle{ (-1,-1,0,0),(-2,0,0,-1),(-1,0,0,1)}\) rozpinają (generują) \(\displaystyle{ U}\), ponieważ należą do jej liniowej powłoki zapisanej jako \(\displaystyle{ span}\)? Czy dlatego?

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 9 kwie 2015, o 00:18

No tak te trzy wektory tworzą nową przestrzeń czyli są wektorami bazowymi podprzestrzeni.
A co do wcześniejszego pytania to jak najbardziej kolejność wpisywania jest dowolna wektorów jest dowolna. A czy wpisywać wierszami czy kolumnami ?? No tutaj w większość przypadków nie ma to znaczenia bo wpiszemy kolumanami znajdziemy rząd i wybierzemy dowolne wektory ze zbioru.
Ale są przypadki gdzie wpisanie wierszami daje nam od razu odpowiedź które wektory tworzą bazę.
Kolejne pytanie to zapisujesz jakbyś szukała współrzędnych wektora (x, y, z, t). Od razu widać jak zauważyłaś że jedna wspórzędna będzie zawsze zerowa i to nie dziwi bo z trzech wektorów można przestrze maks \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ułożyć.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 kwie 2015, o 04:59

Poszukujaca pisze:Wektory \(\displaystyle{ (-1,-1,0,0),(-2,0,0,-1),(-1,0,0,1)}\) rozpinają (generują) \(\displaystyle{ U}\), ponieważ należą do jej liniowej powłoki zapisanej jako \(\displaystyle{ span}\)? Czy dlatego?

To jest trochę masło maślane. (znajdź w słowniku angielskim znaczenie słowa span)
One rozpinają te przestrzeń dlatego, że każdy wektor z przestrzeni może być zapisany jako ich kombinacja liniowa.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 9 kwie 2015, o 23:18

Czy zatem symbol \(\displaystyle{ span}\) jest tutaj równoznaczny z \(\displaystyle{ lin}\)?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 10 kwie 2015, o 06:16

Chcesz powiedzieć, że uźywasz tych pojęć nie rozumiejąc ich definicji? Takie coś prędzej, czy później musi skończyć się katastrofą.

Tak, to to samo.