Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: Poszukujaca »

No rzeczywiście.. Pale tak mam napisane dosłownie w jednej książce.. Nie rozumiem tego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: a4karo »

Jest jeszcze twierdzenie mówiące o tym, że przestrzeń nie ma bazy skończonej (więc jest wymiaru nieskończonego) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n in N istnieje w niej układ liniowo niezależnych wektorów.
To stwierdzenie jest jak najbardziej prawdziwe, Tylko wniosek lewy wyciagnęłaś.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: Poszukujaca »

Wiem już, że jeden wektor sam ze sobą nigdy nie jest liniowo niezależny. W takim razie, aby układ wektorów był liniowo niezależny muszą być w nim conajmniej dwa wektory.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: a4karo »

Brawo

Ale może przejdziesz do sedna?
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: Poszukujaca »

Spróbuję przejść do sedna zadania.

Aby udowodnić, że przeztrzeń \(\displaystyle{ (\RR,+,\QQ, \cdot )}\) nie ma skończonego wymiaru mogę:
1) zastosować dowód nie wprost, o którym wcześniej pisaliśmy
Zakładamy, że istnieje skończona baza tej przestrzeni, którą oznaczymy \(\displaystyle{ \left\{ e_{1},...,e_{n}\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną.
Z definicji bazy wektory \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{n}}\) generują naszą przestrzeń czyli każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci \(\displaystyle{ x=q_{1}e_{1}+...+q_{n}e_{n}}\), gdzie współczynniki \(\displaystyle{ q_{1},...,q_{n} \in \QQ}\).
Teraz aby dojść do sprzeczności wystarczy,że wksażę liczbę, której nie da sie tak zapisać.

2) Drugi sposób. Mogę zastosować twierdzenie, które przytoczyłam, czyli pokazać, ze w tej przestrzeni \(\displaystyle{ \forall_{n \in \NN}\) istnieje układ \(\displaystyle{ n}\) niezależnych wektorów (a właściwie dla \(\displaystyle{ n+1}\), bo jeden wektor nie może być ze sobą niezależny).
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: Kaf »

Przecież zbiór złożony z jednego niezerowego wektora jest liniowo niezależny! (\(\displaystyle{ ax=0}\) (gdzie \(\displaystyle{ x \neq 0}\)) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=0}\))
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: a4karo »

Kaf pisze:Przecież zbiór złożony z jednego niezerowego wektora jest liniowo niezależny! (\(\displaystyle{ ax=0}\) (gdzie \(\displaystyle{ x \neq 0}\)) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=0}\))
Tak, ale kluczem było ptzedziwne stwierdzenie "sam ze sobą liniowo niezależny" Dla mnie taka "niezależność" oznacza, że wektory \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x}\) są iniowo niezalezne.

Poszukująca - zrób cos wreszcie...
Możesz też pokazać, że wektory \(\displaystyle{ 1,\pi,\pi^2,\dots,\pi^n,\dots}\) sa liniowo niezależne.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: Poszukujaca »

Wektory \(\displaystyle{ 1, \pi, \pi^{2},...,\pi^{n},...}\) są liniowo niezależne, bo \(\displaystyle{ \alpha_{1} \cdot 1+\alpha_{2} \cdot \pi+...+ \alpha_{n} \cdot \pi^{n}+... = 0 \Leftrightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=...=0}\)
Nie da się wyzerować liczb niewymiernych w takiej postaci przy użyciu liczb wymiernych. Widzę to na intuicje. Nie mam pomysłu, by to jakoś bardziej rozpisać.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

Post autor: a4karo »

To, co podałaś, to po pierwsze żaden argument.
Po drugie, dość łatwo dobrać niezerowe liczby wymierne \(\displaystyle{ \alpha_i}\) tak, aby \(\displaystyle{ alpha_{1} cdot 1+alpha_{2} cdot pi+...+ alpha_{n} cdot pi^{n}+... = 0 /tex],
wreszczie, po trzecie, zastanawiam się, czy wiesz co znaczy, że nieskończony ukłąd wektorów jest liniowo niezależny.
Sprawdź sobie definicję.}\)
ODPOWIEDZ