Wykazać, że przestrzeń nie ma skończonego wymiaru

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ (R,+, Q, \cdot )}\)

Jak pokazać, że ta przestrzeń nie ma skończonego wymiaru?

[kicaj]

Wskazówka: Udowodnij, że wektory \(\displaystyle{ \ln (p_n )\in\mathbb{R},}\) gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) jest n-tą liczbą pierwszą, są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q} .}\)

[a4karo]

Albo inaczej: Słyszałaś coś o zbiorach przeliczalnych i nieprzeliczalnych?

[Poszukujaca]

a4karo, oczywiście. Zbior przeliczalny jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych i ma moc \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\), a nieprzeliczalny to każdy zbiór, który ma większą moc niż \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) np. zbiór liczb rzeczywistych albo wymiernych, które mamy w tym przykładzie.

[a4karo]

OJ, nie uważałaś na zajęciach. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny

[Poszukujaca]

No tak.. A jak się to ma do wymiaru tej przestrzeni?

[a4karo]

A bdyby była skończonego wymiaru, to ile by miała elementów?

[Poszukujaca]

Gdyby była skończonego wymiaru to w miejsce \(\displaystyle{ \RR}\) musielibyśmy mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) o skończonej liczbie elementów \(\displaystyle{ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\).

[a4karo]

Gdyby była skończonego wymiaru to w miejsce \(\displaystyle{ \RR}\) musielibyśmy mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) o skończonej liczbie elementów \(\displaystyle{ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\).

No nie. Gdyby była skończona baza \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n}\) (wszystkie \(\displaystyle{ e_i}\) są liczbami rzeczywistymi), to każda liczbę dało by się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ q_1e_1+\dots+q_ne_n}\). Ile jest takich możliwych przedstawień?

[Poszukujaca]

Załóżmy, że mamy bazę: \(\displaystyle{ (1,0,2,3)}\). A nasz zbiór to: \(\displaystyle{ X=\left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Wtedy: np. \(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1+0 \cdot 2+0 \cdot 3}\).
\(\displaystyle{ 1=0 \cdot 0+ \cdot 1+\frac{1}{2} 2 + 0 \cdot 3}\).

czyli nie da się przedstawić liczby jeden w sposób jednoznaczny..

Odnosząc to do przykładu, kiedy \(\displaystyle{ \RR=X}\) - tymbardziej nie da się przedstawić w sposób jednoznaczny żadne liczby, kiedy skalary są liczbami wymiernymi. (choć wydaje mi się, że przt skalarach z ciała \(\displaystyle{ \RR}\) będzie tak samo).

[a4karo]

Zapis kuleje. \(\displaystyle{ (1,0,2,3)}\) to element przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)
Pewnie chcciałaś napisać \(\displaystyle{ 1,0,2,3}\). Ale czy te elementy mogą być bazą? Baza jest układem niezależnym. Sama pokazałąś, ze ten układ nie jest liniowo niezależny.


Dalej nie odpowiedziałaś na kluczowe pytanie. Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \{x: x=q_1e_1+\dots+q_ne_n,\ q_i\in\QQ\}}\).

Jak sobie odpowiesz na to pytanie, to stwierdzisz, że nie każdą liczbę rzeczywistą da sie przedstawic w tej postaci.

[Poszukujaca]

Aby można było każdą liczbę rzeczywistą zapisać jako liniową kombinację innych liczb rzeczywistych ( które byłyby bazą) oraz skalarów jako liczb wymiernych, to baza ta musi być nieskończona.

Może zrobić dowód nie wprost?

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ (e_{1},...,e_{n})}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR,+,\QQ, \cdot )}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\).

[a4karo]

No to załóż i udowodnij. Cały czas próbuje Ci wskazać tę ideę. (patrz post z 2.04 godz 14:31

[Poszukujaca]

Jest jeszcze twierdzenie mówiące o tym, że przestrzeń nie ma bazy skończonej (więc jest wymiaru nieskończonego) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) istnieje w niej układ liniowo niezależnych wektorów.

Czy wnioskiem z tego twierdzenia możemy być, że w każdej przestrzeni o nieskończonym wymiarze istnieje układ złożony z jednego wektora, który jest w niej liniowo niezależny?
W związku z tym, gdyby tak było wystarczyłoby wskazać taki wektor, który sam ze sobą jest liniowo niezależny.

Ten dowód nie wprost to też dobra droga, ale nie wiem, jak to dalej rozpisać.
Moc zbioru o którym pisaliśmy wyżej to continuum?

[a4karo]

Czy wnioskiem z tego twierdzenia możemy być, że w każdej przestrzeni o nieskończonym wymiarze istnieje układ złożony z jednego wektora, który jest w niej liniowo niezależny?

Cóż za bzdurny wniosek. Jeden wektor nie może byz liniowo niezależny, bo \(\displaystyle{ x-x=0}\)