Znaleźć wymiar przestrzeni liniowych

[Poszukujaca]

1) \(\displaystyle{ (C,+,C, \cdot )}\)
2) \(\displaystyle{ (C,+, R, \cdot )}\)
3) \(\displaystyle{ P_{n} (K)}\)
4) \(\displaystyle{ F(X,R)}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym złożonym z \(\displaystyle{ n}\)

Moje rozwiązanie:
1) gdzie znalazłam, że wymiar to nieskończoność, ale nie rozumiem dlaczego
2) wydaje mi sie, że wymiar tej przestrzeni to dwa
3) ta przestrzeń to zbior wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) czyli wymiar jest ustalony i wynosi \(\displaystyle{ n}\)
4) tutaj wydaje mi się, źe też powinno być \(\displaystyle{ n}\), ale nie umiem tego uzasadnić

[a4karo]

A co oznaczaja te symbole?

3) Przestrzeń wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \leq n}\) ma wymiar ???

[Poszukujaca]

3) Przestrzeń wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \leq n}\) ma wymiar ???

\(\displaystyle{ n+1}\), bo wielomian np. trzeciego stopnia \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+1}\) utożsamiamy z wektorem \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\).
Tak?

\(\displaystyle{ C}\) zbiór liczb zespolonych, \(\displaystyle{ R}\) rzeczywistych- standardowe oznaczenia.

[a4karo]

Czyli \(\displaystyle{ (\CC,+,\CC,\cdot)}\) to przestrzeń liczb zespolonych nad ciałem liczb zespolonych? Czy wymiar nie jest jasny?

\(\displaystyle{ \CC}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) chyba też. (zwróć uwagę na kod RR, CC)

A coż to \(\displaystyle{ F(X,\RR)}\)? funkcje ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ \RR}\)? Wskazówką może być oznaczenie takiego zbioru w teorii mnogości.

[Poszukujaca]

A coż to \(\displaystyle{ F(X,\RR)}\)? funkcje ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ \RR}\)? Wskazówką może być oznaczenie takiego zbioru w teorii mnogości.

Tak, to zbiór takich funkcji.-- 2 kwi 2015, o 11:04 --Wymiar \(\displaystyle{ \CC}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest jasny...
Baza składa się z dwóch liczb zespolonych, więc jeśli definiujemy tutaj wymiar jako moc bazy, to powinno być dwa, ale w takim razie jak się ma do tego ciało?

Jak rodzaj ciała wpływa ma wymiar przestrzeni?

[a4karo]

PO prostu każda liczba zespolona jest postaci \(\displaystyle{ a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\). Natomiast nie jest takiej postaci, jeżeli założymy, że \(\displaystyle{ a,b\in\QQ}\)

[Poszukujaca]

Nie każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ a+bi}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \QQ}\).
Wiemy, że zbiór liczb zespolonych nie jest przeliczalny.

A jak zapisać bazę przestrzeni \(\displaystyle{ (\CC,+,\RR, \cdot )}\)? Czy ona w ogóle ma bazę?

[a4karo]

Czy ona w ogóle ma bazę?

Dziwne pytanie...

Nie widzisz bazy w przedstawieniu \(\displaystyle{ z=a+bi}\)??

[Poszukujaca]

Czy bazą jest tutaj \(\displaystyle{ \left\{ a,b \right\}}\)?

[a4karo]

Nie. To sa współczynniki

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ a, b \in \QQ}\) są skalarami
\(\displaystyle{ z \in \CC}\) jest bazą - czyli każda pojedyncza liczba zespolona jest bazą?

[a4karo]

Nie. skoro wymiar tej przestrzeni nad \(\displaystyle{ \RR}\) wynosi 2, to bazą są DWIE liczby zespolone. Przy zapise \(\displaystyle{ z=a+bi}\) bazą są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ i}\).

[Poszukujaca]

Nie. skoro wymiar tej przestrzeni nad \(\displaystyle{ \RR}\) wynosi 2, to bazą są DWIE liczby zespolone. Przy zapisie \(\displaystyle{ z=a+bi}\) bazą są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ i}\).

To dotyczy przestrzeni \(\displaystyle{ (\CC,+,\RR, \cdot )}\). Czy aby udowodnić, że jej wymiar to dwa wystarczy podać przykładową bazę np. \(\displaystyle{ \left\{ 1,i\right\}}\), którą można też zapisać tak: \(\displaystyle{ \left\{ (1,0),(0,1)\right\}}\)
?

[a4karo]

tak

[Poszukujaca]

A co z przestrzenią \(\displaystyle{ (\CC, +, \CC, \cdot )}\) ? Czy ma ona też wymiar dwa, czy raczej nieskończoność?
Bazą tej przestrzeni nie może być \(\displaystyle{ \left\{ 1,i \right\}}\) bo na przykład \(\displaystyle{ -i \cdot 1+1 \cdot i = 0}\)