Znaleźć wymiar przestrzeni liniowych

[a4karo]

Ciało nad samym sobą ma wymiar 1, każdy niezerowy element tworzy bazę

[Poszukujaca]

Dlaczego każdy niezerowy element tworzy bazę? Czy to oznacza, że każdą liczbę zespoloną można zapisać jako iloczyn dwóch liczb zespolonych?

[a4karo]

A nie można?

[Poszukujaca]

Można

Czyli można ogólnie powiedzieć, że wymiar przestrzeni: \(\displaystyle{ (K,+,K, \cdot )}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest dowolnym zbiorem ma wymiar jeden?

[a4karo]

Nie. \(\displaystyle{ K}\) nie może być dowolnym zbiorem

[Poszukujaca]

Trzeba dopowiedzieć, że \(\displaystyle{ K}\) jest takim zbiorem, że \(\displaystyle{ (K,+,K, \cdot )}\) jest przestrzenią liniową.

[a4karo]

A znasz definicję przestrzeni liniowej?

[Poszukujaca]

Znam. Wystarczy, więc powiedzieć, że \(\displaystyle{ (K,+, \cdot )}\) musi być ciałem.

[a4karo]

Ano właśnie. Matematyka wymaga jednak precyzji, bo na ogól nikt nie jest w stanie odczytac intencji piszącego.

[Poszukujaca]

Pozostaje jeszcze ustalić wymiar ostatniej przestrzeni.

Powiedzieliśmy, że \(\displaystyle{ F(X,\RR)}\), to zbiór funkcji odwzorowujących \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR}\)

Jak sprawdza się w ogóle wymiar przestrzeni, gdzie elementem są funkcje? Jaki zbiór jest tutaj ciałem?

[yorgin]

Ciałem w domyśle jest mniej więcej to, w co odwzorowuje się zbiór \(\displaystyle{ X}\). Czyli tutaj masz \(\displaystyle{ \RR}\).

Skoro \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, to niech \(\displaystyle{ X=\{x_1,\ldots,x_n\}}\). Zauważ teraz, że funkcje charakterystyczne \(\displaystyle{ \textbf{1}_{\{x_k\}}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\ldots, n}\) są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \RR}\).