Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
Mam znaleźć wymiar i baze przestrzeni \(\displaystyle{ U=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in R^{4}: x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\right\}}\)
Doszłam do tego, że wszystkie wektory z \(\displaystyle{ U}\) są liniowa kombinacją wektorów: \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=x_{1}(1,0,0,1)+x_{2}(0,1,0,-1)+x_{3}(0,0,1,-1)}\)
Teraz co muszę zrobić, aby zbadac czy wymiar tej przestrzeni to cztery?
Jak to działa? Czy jeśli mamy przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n}\) dowolnych wektorów z niej jest ZAWSZE liniowo niezależnych? (Intuicja podpowiada mi, że jednak nie).
Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej \(\displaystyle{ n}\) wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\)?
Prosze o wyjaśnienie, jak to działa.
Doszłam do tego, że wszystkie wektory z \(\displaystyle{ U}\) są liniowa kombinacją wektorów: \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=x_{1}(1,0,0,1)+x_{2}(0,1,0,-1)+x_{3}(0,0,1,-1)}\)
Teraz co muszę zrobić, aby zbadac czy wymiar tej przestrzeni to cztery?
Jak to działa? Czy jeśli mamy przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n}\) dowolnych wektorów z niej jest ZAWSZE liniowo niezależnych? (Intuicja podpowiada mi, że jednak nie).
Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej \(\displaystyle{ n}\) wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\)?
Prosze o wyjaśnienie, jak to działa.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
Wystarczy pomyśleć... wiesz, że \(\displaystyle{ x_4 = x_1+ x_2 + x_3}\), więc "tracisz" jeden stopień swobody i dostajesz podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 3}\), jej bazą jest na przykład \(\displaystyle{ (1,0,0,1)}\), \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\), \(\displaystyle{ (0,0,1,1)}\).
Nie, weź \(\displaystyle{ n = 2}\) i \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\) jako przestrzeń, po czym za wektory ustal \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-1)}\).Jak to działa? Czy jeśli mamy przestrzeń wymiaru n to n dowolnych wektorów z niej jest ZAWSZE liniowo niezależnych? (Intuicja podpowiada mi, że jednak nie).
To jest to przestrzeń wymiaru co najmniej \(\displaystyle{ n}\).Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej n wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru n?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
No właśnie!Medea 2 pisze:To jest to przestrzeń wymiaru co najmniej \(\displaystyle{ n}\).Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej n wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru n?
Czylin jesli znajde trzy wektory liniowo niezlaęzne z tej przestrzeni to wystarczy do stwierdzenia, że jej wymiar to trzy?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
Cztery liniowo niezależne wektory musiałyby rozpinać już całą \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\) (bo wszystkie bazy są równoliczne), a jak widać, \(\displaystyle{ (1,1,0,1)}\) nie należy do podprzestrzeni.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
Czyli przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) jest wymiaru przynajmniej trzy, ponieważ możemy znależć trzy wektory z niej, które sa liniowo niezależne. Natomiast nie może mieć wymiaru cztery, ponieważ istnieje taki wektor z \(\displaystyle{ R^{4}}\), który tworzy układ liniowo niezależny z pozostałymi wektorami, ale nie nalezy do \(\displaystyle{ U}\).
?
?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni
Po prostu dodanie jakiegokolwiek wektora z \(\displaystyle{ U}\) spowoduje, że układ już będzie liniowo zależny.
Ten typ zadań jest bardzo standardowy. Przejrzyj forum - jest ich mnóstwo.
Ten typ zadań jest bardzo standardowy. Przejrzyj forum - jest ich mnóstwo.