Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Poszukujaca »

Mam znaleźć wymiar i baze przestrzeni \(\displaystyle{ U=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in R^{4}: x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\right\}}\)

Doszłam do tego, że wszystkie wektory z \(\displaystyle{ U}\) są liniowa kombinacją wektorów: \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}-x_{2}-x_{3})=x_{1}(1,0,0,1)+x_{2}(0,1,0,-1)+x_{3}(0,0,1,-1)}\)

Teraz co muszę zrobić, aby zbadac czy wymiar tej przestrzeni to cztery?
Jak to działa? Czy jeśli mamy przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n}\) dowolnych wektorów z niej jest ZAWSZE liniowo niezależnych? (Intuicja podpowiada mi, że jednak nie).
Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej \(\displaystyle{ n}\) wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\)?

Prosze o wyjaśnienie, jak to działa.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Medea 2 »

Wystarczy pomyśleć... wiesz, że \(\displaystyle{ x_4 = x_1+ x_2 + x_3}\), więc "tracisz" jeden stopień swobody i dostajesz podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 3}\), jej bazą jest na przykład \(\displaystyle{ (1,0,0,1)}\), \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\), \(\displaystyle{ (0,0,1,1)}\).
Jak to działa? Czy jeśli mamy przestrzeń wymiaru n to n dowolnych wektorów z niej jest ZAWSZE liniowo niezależnych? (Intuicja podpowiada mi, że jednak nie).
Nie, weź \(\displaystyle{ n = 2}\) i \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\) jako przestrzeń, po czym za wektory ustal \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-1)}\).
Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej n wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru n?
To jest to przestrzeń wymiaru co najmniej \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Poszukujaca »

Medea 2 pisze:
Czy przeciwnie jest tak, że jeśli da się znaleźć przynajmniej n wektorów niezależnych to jest to przestrzeń wymiaru n?
To jest to przestrzeń wymiaru co najmniej \(\displaystyle{ n}\).
No właśnie!

Czylin jesli znajde trzy wektory liniowo niezlaęzne z tej przestrzeni to wystarczy do stwierdzenia, że jej wymiar to trzy?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Medea 2 »

Nie, musisz jeszcze uzasadnić, że czwartego nie da się znaleźć.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Poszukujaca »

Właśnie tak myślałam... Ale jak to uzasadnić?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Medea 2 »

Cztery liniowo niezależne wektory musiałyby rozpinać już całą \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\) (bo wszystkie bazy są równoliczne), a jak widać, \(\displaystyle{ (1,1,0,1)}\) nie należy do podprzestrzeni.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Poszukujaca »

Czyli przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) jest wymiaru przynajmniej trzy, ponieważ możemy znależć trzy wektory z niej, które sa liniowo niezależne. Natomiast nie może mieć wymiaru cztery, ponieważ istnieje taki wektor z \(\displaystyle{ R^{4}}\), który tworzy układ liniowo niezależny z pozostałymi wektorami, ale nie nalezy do \(\displaystyle{ U}\).
?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

Post autor: Kacperdev »

Po prostu dodanie jakiegokolwiek wektora z \(\displaystyle{ U}\) spowoduje, że układ już będzie liniowo zależny.

Ten typ zadań jest bardzo standardowy. Przejrzyj forum - jest ich mnóstwo.
ODPOWIEDZ