Wyznaczyć wszystkie bazy dla danych współrzędnych obrazu

[Poszukujaca]

Dana jest macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ g:R^{2} \rightarrow R^{2}}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}
-1&1\\
2&0
\end{array}\right]}\). Wyznaczyć wzystkie bazy, przy których obrazem wektora \(\displaystyle{ (2,0)}\) jest wektor \(\displaystyle{ (0,-3)}\).

Robię tak:

Ustalam bazę \(\displaystyle{ B_{1}=\left\{ u_{1},u_{2}\right\} , u_{1}=(\alpha_{1},\alpha_{2}), u_{2}=(\beta_{1},\beta_{2})}\).

Baza druga na razie mnie nie interesuje.

Potem wyznaczam wp,ołrzędne wektora \(\displaystyle{ (2,0)}\) w bazie pierwszej.
Otrzymuję:
\(\displaystyle{ x=\frac{-2\beta_{2}}{\alpha_{2}\beta_{1}-\alpha_{1}\beta_{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{2\alpha_{2}}{\alpha_{2}\beta_{1}-\alpha_{1}\beta_{2}}}\)

Wywaz wydaje mi się, że wystarczy pomnożyć macierz \(\displaystyle{ A}\) przez macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x \\ y \end{array}\right]}\).

Jednak w odpowiedziach jest inaczej. Proszę o pomoc.

[Kartezjusz]

A pomiędzy jakimi bazami przeprowadza \(\displaystyle{ A}\) chyba, że to macierz przekształcenia ale też musimy znać bazy

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ A}\) jest macierzą przekształcenia. Nie ma podanych baz.

[Kartezjusz]

Ale zawsze i tak definiuje się ją w konkretnej bazie

[Poszukujaca]

No właśnie i dlatego nie rozumiem tego zadania..

[Kartezjusz]

Przyjmijmy standardową

[Poszukujaca]

Wydaje mi się, że tak wlasnie nalezy zrobić, bo jeśli nie ma podanych baz to w domyśle są bazy kanoniczne.

Ale jak to rozwiąząć? Już się w tym pogubiłam.