Proszę o sprawdzenie.
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0 \in \RR[t]}\) oraz \(\displaystyle{ a_0 \not = 0}\).
\(\displaystyle{ N_+ (f)}\) to liczba pozytywnych miejsc zerowych \(\displaystyle{ f}\) i analogicznie z minusem.
\(\displaystyle{ f_{-}(t) := f(-t)}\).
\(\displaystyle{ Z(f)}\) to liczba zmian współczynników \(\displaystyle{ f}\) - tzn. zmiany współczynników z plusa na minus.
Udowodnij \(\displaystyle{ N_{+}(f) \le Z(f) \Rightarrow N_{-}(f) \le Z(f_{-})}\).
Wystarczy więc, że pokażę \(\displaystyle{ N_{-}(f) = N_+(f_{-})}\).
Muszę więc pokazać, że dowolne negatywne miejsce zerowe \(\displaystyle{ f}\) da pozytywne miejsce zerowe \(\displaystyle{ f_{-}}\) oraz, że dowolne pozytywne miejsce zerowe \(\displaystyle{ f_{-}}\) da negatywne miejsce zerowe \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\):
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie dowolnym negatywnym miejscem zerowym \(\displaystyle{ f}\).
Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste:
\(\displaystyle{ f(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... +a_0 = -(-t)^n + a_{n-1} (-t)^{n-1} - a_1 (-t) + a_0}\)
\(\displaystyle{ (-t)^n - a_{n-1}(-t)^{n-1} ... +a_1(-t) -a_0 = f(-t) = f_{-}(t)}\)
Dla \(\displaystyle{ n}\) parzyste podobnie z drobną różnicą w minusach.
Dla \(\displaystyle{ f_{-}(p)}\) otrzymujemy pozytywne miejsce zerowe. Liczba miejsc zerowych musi być taka sama, bo równania są równoważne (podzielenie przez \(\displaystyle{ -1}\) nie zmienia nic w ilości miejsc zerowych).
Czy mniej więcej tak powinien wyglądać ten dowód? Jeżeli nie to proszę o poprawę i wyjaśnienie. Jeżeli tak to mam pewien problem z funkcją \(\displaystyle{ f_{-}(t)}\). Nie do końca to rozumiem, bo tutaj zdefiniowałem ją jakby trochę po swojemu. Ma więc współczynniki dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste takie jak \(\displaystyle{ -a_{n-1}}\). Czy ta funkcja nie powinna jednak wyglądać tak: \(\displaystyle{ f_{-}(t) = (-t)^n + a_{n-1}(-t)^{n-1}+...+a_0}\)?