Norma w przestrzeni wielomianów

[grapefruit13]

Witam.

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić jak jest zdefiniowana norma wektora w przestrzeni wielomianów(dowolnego stopnia)? W przestrzeni euklidesowej to wiadomo - pierwiastek z iloczynu skalarnego. A co z przestrzenią wielomianów? Wykładowca mowil cos o calkach(całek jeszcze w ogóle na studiach nie było).

Pozdrawiam.

[szw1710]

Jeśli całka, to normą w przestrzeni funkcji ciągłych \(\displaystyle{ C[a,b]}\) jest \(\displaystyle{ \|w\|=\int_a^b|w(x)|\dd x}\). Można też myśleć o przestrzeniach \(\displaystyle{ L_p}\), gdzie \(\displaystyle{ \|f\|_p=\left(\int_a^b|f(x)|^p\dd x\right)^{\frac{1}{p}}.}\)

Ogólnie wielomiany można rozważać w różnych przestrzeniach funkcyjnych, stąd też różne normy. Powiedzmy, że z pewnych względów wygodna jest norma z przestrzeni \(\displaystyle{ L_2[-1,1]}\), czyli

\(\displaystyle{ \|w\|_2=\sqrt{\int_{-1}^1w^2(x)\dd x}.}\)

Mam tu na myśli iloczyn skalarny, wielomiany ortogonalne i ogólnie analizę numeryczną, teorię aproksymacji itp. Więcej zobaczysz tutaj.

[mrozo]

Odkopię, ale nie ma sensu robić nowego tematu - przy okazji, witam wszystkich

Mam zadanie, w którym muszę policzyć kąt między wektorami w przestrzeni \(\displaystyle{ R _{2}[x]}\)
Iloczyn skalarny już policzyłem, teraz potrzebuje iloczynu norm.

Przykładowo mam jeden wektor \(\displaystyle{ p=x+1}\)

I z tego co zrozumiałem z posta powyżej to:

\(\displaystyle{ \left| \left|p\right|\right| = \sqrt{ \int_{-1}^{1} (x+1)^{2}}}\)

Po przeliczeniu wychodzi mi \(\displaystyle{ \left| \left| p\right|\right| = 2 \frac{2}{3}}\)

Czy moglibyście mi pomóc i sprawdzić moje rozumowanie? Czy to "p" we wzorze powyżej to wielkość przestrzeni (tzn. najwyższy możliwy stopień wielomianu)?

[szw1710]

\(\displaystyle{ p}\) może być liczbą dodatnią. U Ciebie \(\displaystyle{ p}\) to nazwa wielomianu. Policzyłeś powyżej kwadrat normy, zapomniałeś o pierwiastku.

[mrozo]

O fakt, dziękuje za poprawę, a co do \(\displaystyle{ p}\) to miałem na myśli, co to znaczyło w Twoim poście (akurat zbieżność liter ).