Wektory z przestrzeni zespolonej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

Mam sprawdzić dlla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) wektory: \(\displaystyle{ (1,1+i,a), (i,0,1), (0,1,i)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ C^{3}}\).

Wpisuję wektory w macierz i sprawdzam, kiedy jest ona różna od zera. Wyychodzi dla \(\displaystyle{ a \neq -1}\)..

I teraz zastnawia mnie jedna rzecz. Skorowyznacnzik jest równy zero tylko dla \(\displaystyle{ a=-1}\), to tylko wtedy wektory sa liniowo zależne. Chce się przekonać, że rzeczywiście wtedy tak jest i próbuję jeden z tych wektorów zapisać jako liniową kombinację dwóch pozostałych. Jednak nie umiem tego zrobić.
Czy współczynniki z liniowej kombinacji sa wtedy rzeczywiste czy zespolone? I jak to jest, gdy liczymy ten wyznacznik liczymy wtedy biorąc pod uwagę liczby zespolone czy rzeczywiste?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

Czy współczynniki z liniowej kombinacji sa wtedy rzeczywiste czy zespolone? I jak to jest, gdy liczymy ten wyznacznik liczymy wtedy biorąc pod uwagę liczby zespolone czy rzeczywiste?
A czym są skalary z \(\displaystyle{ \CC^{3}}\) ?
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

Liczbami zespolonymi.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

No to masz odpowiedź.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

A czy to nie zalezy od tego nad jakim ciałem mamy przestrzeń?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: leg14 »

Konwencja jest taka,ze \(\displaystyle{ K^n}\) oznacza przestrzen nad ciałem K
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

Mam pytanie do jednego podobnego przykładu.

Mam sprawdzić liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ (1,0), (0,1)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ (C,+,C, \cdot )}\).

Jeśli mam tak zdefiniowaną przestrzeń, to skalary należą do ciała liczb zespolonych, więc sa liczbami zespolonymi. Teraz jedna kwestia mnie zastanawia... Jak wpiszę te wektory w macierz to wychodzi wyznacznik różny od zera czyli powinny być liniowo niezależne. Natomiast mogę znaleźć takie niezerowe \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in C}\), aby z wektorów tych utworzyć kombinację liniową równą wektorowi zerowemu. Na przykład:
\(\displaystyle{ \alpha=(0,-1), \beta=(1,0)}\) wtedy: \(\displaystyle{ (0,-1)(1,0)+(1,0)(0,1)=(0,0)}\)
A więc jak czy wektory te są liniowo zależne czy niezależne? Czy w takim razie metoda z liczeniem wyznacznika nie działa dla przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

Ciało \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest przestrzenią liniową, gdzie bazą jest jedynka przestrzeni. Zbiór liczb zespolonych tworzy ciało.

Innymi słowy ciało \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest jednowymiarową przestrzenią nad sobą.


Wpisywanie w macierz jest nietrafne. Tzn., wpisując w macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

wygląda to jak badanie przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), w ktorej te wektory rzeczywiście będą liniowo niezależne.
Nasze wektory wpisanie w macierz powinny wygladac raczej:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(1,0)\\(0,1)\end{array}\right]}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

W takim razie rozumiemy tutaj wektor \(\displaystyle{ (1,0)}\) jako liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+ib}\), gdzie
\(\displaystyle{ a=1, b=0}\)?
A czy można tę macierz napisać tak?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\i\end{array}\right]}\)
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

Moje intencje były takie, że macierz w tym wypadku jest bezsensowna.
W takim razie rozumiemy tutaj wektor \(\displaystyle{ (1,0)}\) jako liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+ib}\), gdzie \(\displaystyle{ a=1}\) \(\displaystyle{ b=0}\)
Dokładnie.

Dla rozjasnienia:
Wszystkie wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^{2}}\) są postaci:

\(\displaystyle{ \left( \left(a,b \right),\left( c,d\right)\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \RR}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

Jeszcze czegoś tu nie rozumiem...

Mam jeszcze zadanie, w którym trzeba sprawdzić, czy wektory \(\displaystyle{ (i,0), (0,1), (i,1)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ c^{2}}\).
Tutaj mamy inną sytuacje, bo współrzędne są liczbami zespolonymi, a też mamy przestrzeń zespoloną.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

Ten zapis jest równoważny:

\(\displaystyle{ \left( \left( 0,1\right),\left( 0,0\right) \right) \\ \left( \left( 0,0\right), \left( 1,0\right) \right) \\ \left( \left( 0,1\right),\left( 1,0\right) \right)}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

A czy mój sposób sprawdzenia liniowej niezależności z powyższego zadania jest właściwy?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Kacperdev »

Ale w którym momencie coś sprawdzasz?
Jak powinien wyglądać warunek.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Wektory z przestrzeni zespolonej

Post autor: Poszukujaca »

Poszukujaca pisze: Mam sprawdzić liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ (1,0), (0,1)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ (C,+,C, \cdot )}\).

Jeśli mam tak zdefiniowaną przestrzeń, to skalary należą do ciała liczb zespolonych, więc sa liczbami zespolonymi. Mogę znaleźć takie niezerowe \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in C}\), aby z wektorów tych utworzyć kombinację liniową równą wektorowi zerowemu. Na przykład:
\(\displaystyle{ \alpha=(0,-1), \beta=(1,0)}\) wtedy: \(\displaystyle{ (0,-1)(1,0)+(1,0)(0,1)=(0,0)}\)
Tutaj właściwie nie sprawdzam żadnego warunku, ale podaje kontrprzykład dla liniowej niezależności.
Myśle, że sposób na przyrównanie kombinacji do zera a przez to utworzenie układu równań nie bedzie tutaj dobrym rozwiązaniem.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2015, o 20:57 przez Poszukujaca, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ