Liniowa niezależność wektorów z funkcjami trogonometrycznymi

[Poszukujaca]

Sprawdzić, czy funcje: \(\displaystyle{ f_{1}, f_{2}, f_{3} \in F(R,R)}\), gdzie: \(\displaystyle{ f_{1}=\cos 3x, f_{2}=\sin 3x, f_{3}=\cos^{3}x}\) są liniowo niezalezne w przstrzeni \(\displaystyle{ F(R,R)}\)?

Wydaje mi się, że sa liniowo zalezne, Korzystając ze wzorów trygonometrycznych próbuję zapisać jeden z nich jako kombinajcę liniową dwóch pozostałych, ale nijak nie mogę tego zrobić.. Moze jednak nie są zależne?

[Medea 2]

Okej. Załóż, że jednak są zależne, wtedy \(\displaystyle{ b \sin(3x) + a \cos(3x) + c \cos^3(x) = 0}\) i \(\displaystyle{ a, b, c}\) nie są jednocześnie zerami. Wstaw \(\displaystyle{ x = 0}\), dostaniesz, że \(\displaystyle{ c = -a}\). Wstaw \(\displaystyle{ x = \pi/2}\), wtedy \(\displaystyle{ b = 0}\). Na koniec \(\displaystyle{ x = \pi/4}\) daje \(\displaystyle{ c = 0}\), a więc są liniowo niezależne.

[Poszukujaca]

Wydaje mi się, że dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\) otrzymamy inaczej niż mówisz:
Będzie:
\(\displaystyle{ \cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \frac{3 \pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) a dla ostatniego wektora: \(\displaystyle{ \cos^{3} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}}\).

[Medea 2]

W ostatnim kroku (\(\displaystyle{ x = \pi / 4}\)) korzystam z tego, co wyprowadziłam wcześniej, tzn. \(\displaystyle{ b = 0}\) (więc sinusa nawet nie liczę) i \(\displaystyle{ a+ c =0}\).