Rzut prostopadły wektora
-
mmk123456
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 9 lis 2014, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 11 razy
Rzut prostopadły wektora
W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) znaleźć rzut prostopadły wektora \(\displaystyle{ \alpha=(1,1,1)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ V= \{ \( x_1,x_2,x_3 \) \in \mathbb{R}^3 | x_1+2x_2-x_3=0 \}}\) i rzut prostopadły \(\displaystyle{ \alpha}\) na prostą \(\displaystyle{ L=lin((1,2,3))}\). Jak to zrobić? na pewno muszą znaleźć bazę prostopadła przestrzeni i baza ortonormalna która mi wyszła to \(\displaystyle{ A_1= \left( \frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}},0 \right)}\), \(\displaystyle{ A_2= \left( \frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}\). Ale co dalej?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Rzut prostopadły wektora
I sposób:
Znajdujemy bazę \(\displaystyle{ V.}\)
Z warunku \(\displaystyle{ x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0, x_{3}=x_{1}+2x_{2},}\) czyli wektory V opisują się jako \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})= (x_{1},x_{2}, x_{1}+2x_{2})= x_{1}(1,0,1)+x_{2}(0,1,2).}\)
Bazą V jest układ\(\displaystyle{ B= \left\{ (1,0,1), (0,1,2) \right\}.}\)
Zauważmy, że układ \(\displaystyle{ U= \left\{ (1,0,1),(0,1,2), (1,2,-1)\right\}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Można się o tym przekonać schodkując macierz, której wierszami są wektory z U,(gdyby układ \(\displaystyle{ U}\)nie stanowił bazy, to treść zadania wiodłaby do sprzeczności).
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie rzutem na \(\displaystyle{ V,}\) wtedy z definicji rzutu \(\displaystyle{ P(1,0,1)= (1,0,1), P(0,1,2)=(0,1,2).}\).
Ponieważ określiliśmy \(\displaystyle{ P}\) na wektorach bazowych, to i na całej przestrzeni. Musimy jeszcze znaleźć macierz odpowiadającą \(\displaystyle{ P}\)w bazach standardowych.
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\1&2&-1&0&0&0 \end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ w3-w1}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&2&-2&-1&0&-1 \end{array}\right ).}\)
\(\displaystyle{ w3-2w2}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&0&-6&-1&-2&-5 \end{array}\right ).}\)
\(\displaystyle{ w3*(-\frac{1}{6})}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{5}{6}\end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ w2-2w3, w1-w2}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&0&\frac{5}{6}&-\frac{2}{6}&\frac{1}{6}\\0&1&0&-\frac{2}{6}&\frac{2}{6}&\frac{2}{6}\\0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{5}{6}\end{array}\right).}\)
Wystarczy teraz zapisać macierz odpowiadającą \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \left[P\right]_{e}^{e}= \left[P(e_{1}),P(e_{2}), P(e_{3})\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5&-2&1\\-2&2&2\\1&2&5\end{array}\right].}\)
Rzut wektora \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5&-2&1\\-2&2&2\\1&2&5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\1 \end{array}\right]= \frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right].}\)
II sposób
Zaczepiamy wektor \(\displaystyle{ \alpha}\) na przykład w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Piszemy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) i równoległej do wektora \(\displaystyle{ \left[1, 2, -1\right]}\) (wektor kierunkowy prostej jest równoległy do wektora prostopadłego płaszczyzny).
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}-1}{1}=\frac{x_{2}-1}{2}=\frac{x_{3}-1}{-1}.}\)
Równanie parametryczne
\(\displaystyle{ x_{1}=1+t, x_{2}=1+2t, x_{3}=1-t.}\)
Znajdujemy wartość parametru \(\displaystyle{ t.}\)
\(\displaystyle{ 1+t +2(1+2t-(1-t)=0,\ \ t=-\frac{1}{3}.}\)
Współrzędne rzutu wektora
\(\displaystyle{ x^{*}_{1}= \frac{2}{3}, \ \ x^{*}_{2}= \frac{1}{3}, \ \ x^{*}_{3}= \frac{4}{3}.}\)
Takimi samymi metodami znajdujemy rzut wektora na prostą.
Znajdujemy bazę \(\displaystyle{ V.}\)
Z warunku \(\displaystyle{ x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0, x_{3}=x_{1}+2x_{2},}\) czyli wektory V opisują się jako \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})= (x_{1},x_{2}, x_{1}+2x_{2})= x_{1}(1,0,1)+x_{2}(0,1,2).}\)
Bazą V jest układ\(\displaystyle{ B= \left\{ (1,0,1), (0,1,2) \right\}.}\)
Zauważmy, że układ \(\displaystyle{ U= \left\{ (1,0,1),(0,1,2), (1,2,-1)\right\}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Można się o tym przekonać schodkując macierz, której wierszami są wektory z U,(gdyby układ \(\displaystyle{ U}\)nie stanowił bazy, to treść zadania wiodłaby do sprzeczności).
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie rzutem na \(\displaystyle{ V,}\) wtedy z definicji rzutu \(\displaystyle{ P(1,0,1)= (1,0,1), P(0,1,2)=(0,1,2).}\).
Ponieważ określiliśmy \(\displaystyle{ P}\) na wektorach bazowych, to i na całej przestrzeni. Musimy jeszcze znaleźć macierz odpowiadającą \(\displaystyle{ P}\)w bazach standardowych.
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\1&2&-1&0&0&0 \end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ w3-w1}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&2&-2&-1&0&-1 \end{array}\right ).}\)
\(\displaystyle{ w3-2w2}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&0&-6&-1&-2&-5 \end{array}\right ).}\)
\(\displaystyle{ w3*(-\frac{1}{6})}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0&1\\0&1&2&0&1&2\\0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{5}{6}\end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ w2-2w3, w1-w2}\)
\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&0&\frac{5}{6}&-\frac{2}{6}&\frac{1}{6}\\0&1&0&-\frac{2}{6}&\frac{2}{6}&\frac{2}{6}\\0&0&1&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{5}{6}\end{array}\right).}\)
Wystarczy teraz zapisać macierz odpowiadającą \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \left[P\right]_{e}^{e}= \left[P(e_{1}),P(e_{2}), P(e_{3})\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5&-2&1\\-2&2&2\\1&2&5\end{array}\right].}\)
Rzut wektora \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5&-2&1\\-2&2&2\\1&2&5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\1 \end{array}\right]= \frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right].}\)
II sposób
Zaczepiamy wektor \(\displaystyle{ \alpha}\) na przykład w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Piszemy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) i równoległej do wektora \(\displaystyle{ \left[1, 2, -1\right]}\) (wektor kierunkowy prostej jest równoległy do wektora prostopadłego płaszczyzny).
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}-1}{1}=\frac{x_{2}-1}{2}=\frac{x_{3}-1}{-1}.}\)
Równanie parametryczne
\(\displaystyle{ x_{1}=1+t, x_{2}=1+2t, x_{3}=1-t.}\)
Znajdujemy wartość parametru \(\displaystyle{ t.}\)
\(\displaystyle{ 1+t +2(1+2t-(1-t)=0,\ \ t=-\frac{1}{3}.}\)
Współrzędne rzutu wektora
\(\displaystyle{ x^{*}_{1}= \frac{2}{3}, \ \ x^{*}_{2}= \frac{1}{3}, \ \ x^{*}_{3}= \frac{4}{3}.}\)
Takimi samymi metodami znajdujemy rzut wektora na prostą.