Zbiór wielomianów jako podprzestrzeń

[Poszukujaca]

Mam sprawdzić, czy \(\displaystyle{ P(R)}\), które jest zbiorem wszystkich wielomianów dowolnych stopni, stanowi podprzestrzeń przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ F(R,R)}\).

Mój problem tkwi w tym, że nie rozumiem zapisu \(\displaystyle{ F(R,R)}\). Czy ejst to zbiór wszytskich funkcji odwzorowujacych \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ R}\)?

[Spektralny]

Tak, to oznaczenie zbioru wszystkich funkcji. Oczywiście suma wielomianów jest wielomianem oraz iloczyn wielomianu przez liczbę jest również wielomianem.

[Poszukujaca]

Wiadomo, że suma wielomianów jest wielomianem oraz iloczyn wielomianu przez sklar jest wielomianem.
Tylko coś mi się tu nie podoba...
Mam pokazać, że \(\displaystyle{ P(R) \subset F(R,R)}\). Jak to w ogóle moze być możliwe skoro do zbioru \(\displaystyle{ F(R,R)}\) należą funkcję, a do \(\displaystyle{ P(R)}\) wielomainy. Czy wieloam można rozumieć tu przez funkcję: \(\displaystyle{ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in R}\)?

[Spektralny]

Tak, wielomiany utożsamiane z funkcjami wielomianowymi.

[Poszukujaca]

Jako dowód wystarczy, więc powyższe stwierdzenie.

A czy jeśli weźmiemy zbiór \(\displaystyle{ P_{n}(R)}\) czyli wsyztskich wielomianów stopnia mniejszego bądź równego \(\displaystyle{ n}\), to również będzie on podprzestrzenią \(\displaystyle{ F(R,R)}\) z tego samego powodu?
Wydaje mi się, że tak.

[Spektralny]

Tak.