Czy istnieje macierz B?

[Olka42]

Niech \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & 3
\end{array}
\right]
\qquad}\)
Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ B}\) o współczynnikach rzeczywistych taka, że \(\displaystyle{ det (B)=7}\) oraz
\(\displaystyle{ B ^{-1}AB = \left[
\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & d
\end{array}
\right]}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ c, d \in R}\)? Jeśli tak to podać przykład takiej macierzy \(\displaystyle{ B}\).
Proszę o pomoc.

[miodzio1988]

jaki wymiar musi miec taka macierz?

No i skorzystaj z tw. Cauchy ego

[Olka42]

Nie wiem z jakiego twierdzenia Cauchy'ego. Wymiar 2.

[miodzio1988]

o wyznaczniku macierzy

[bartek118]

W czym niby to twierdzenie miałoby pomóc?
Policz wartości własne tej macierzy.
Prawdziwe jest następujące twierdzenie - jeżeli macierz ma \(\displaystyle{ n}\) parami różnych wartości własnych, to jest diagonalizowalna (szczególny przypadek twierdzenia Jordana).
A potem dostosować wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ B}\) to już nieduży problem.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ B ^{-1}AB = \left[ \begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]}\)

zastosowanego do tego daje nam zależność między \(\displaystyle{ c}\) a \(\displaystyle{ d}\)

Z tego bardzo szybko można zgadnąć wartości własne.

[Olka42]

No mam te wartości własne 5 i -1. I wektory własne (1, 1) o (-2, 1) ale jak z nich buduję macierz B to jej wyznacznik wynosi 3 a nie 7.

[bartek118]

No to teraz pomnóż każdą wartość w macierzy przejścia przez \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{7}{3}}}\)

[Olka42]

Coś takiego mi wcześniej wyszło ale myślałam że to bez sensu. Czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ B= \left[
\begin{array}{cc}
\sqrt{ \frac{7}{3} } & -2 \sqrt{ \frac{7}{3} } \\
\sqrt{ \frac{7}{3} } & \sqrt{ \frac{7}{3} }
\end{array}
\right]
\qquad}\)?

[bartek118]

Wygląda na to, że tak. Wymnóż te macierze, to będziesz miała pewność.