\(\displaystyle{ \nabla _{x} a^{T}x=a}\)
\(\displaystyle{ a = \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\...\\ a_{n} \end{bmatrix}}\), zatem \(\displaystyle{ a^{T} =\begin{bmatrix} a_{1} a_{2} ... a _{n} \end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\...\\ x_{n} \end{bmatrix}}\), po wymnożeniu macierzy uzyskujemy:
\(\displaystyle{ \nabla _{x} a^{T}x=\nabla _{x} \sum_{i}^{} a_{i} x_{i}= \sum_{i}^{} a _{i}}\)
i tutaj pojawia się mój problem, ponieważ nie bardzo wiem jak to się ma do wektora \(\displaystyle{ a}\)
Udowodnić tożsamość, gradient
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Udowodnić tożsamość, gradient
Zauważmy, że i-ta pochodna cząstkowa - składowa gradientu formy liniowej
\(\displaystyle{ f_{|x_{i}}( a_{1}x_{1}+ a_{2}x_{2}+...+a_{i}x_{i}+...+a_{n}x_{n})= a_{i}, i=1,2,..,n.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \nabla (\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i})= \left( \begin{array}{c}a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\a_{n}\end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ f_{|x_{i}}( a_{1}x_{1}+ a_{2}x_{2}+...+a_{i}x_{i}+...+a_{n}x_{n})= a_{i}, i=1,2,..,n.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \nabla (\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i})= \left( \begin{array}{c}a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\a_{n}\end{array}\right).}\)
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Udowodnić tożsamość, gradient
Mądrzej by to było zapisać:janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \nabla_{x_{i}}\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}= a_{i}.}\)
\(\displaystyle{ \nabla_{x_{j}}\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}= a_{j}.}\)