Udowodnić tożsamość, gradient

[adi3]

\(\displaystyle{ \nabla _{x} a^{T}x=a}\)

\(\displaystyle{ a = \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\...\\ a_{n} \end{bmatrix}}\), zatem \(\displaystyle{ a^{T} =\begin{bmatrix} a_{1} a_{2} ... a _{n} \end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\...\\ x_{n} \end{bmatrix}}\), po wymnożeniu macierzy uzyskujemy:

\(\displaystyle{ \nabla _{x} a^{T}x=\nabla _{x} \sum_{i}^{} a_{i} x_{i}= \sum_{i}^{} a _{i}}\)
i tutaj pojawia się mój problem, ponieważ nie bardzo wiem jak to się ma do wektora \(\displaystyle{ a}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \nabla_{x_{i}}\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}= a_{i}.}\)

[adi3]

Nie bardzo rozumiem, w jaki sposób pozbywamy się tutaj sumy.

[janusz47]

Zauważmy, że i-ta pochodna cząstkowa - składowa gradientu formy liniowej
\(\displaystyle{ f_{|x_{i}}( a_{1}x_{1}+ a_{2}x_{2}+...+a_{i}x_{i}+...+a_{n}x_{n})= a_{i}, i=1,2,..,n.}\)

Stąd
\(\displaystyle{ \nabla (\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i})= \left( \begin{array}{c}a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\a_{n}\end{array}\right).}\)

[AiDi]

\(\displaystyle{ \nabla_{x_{i}}\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}= a_{i}.}\)

Mądrzej by to było zapisać:
\(\displaystyle{ \nabla_{x_{j}}\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}= a_{j}.}\)

[janusz47]

Tak też zapisałem w I poście i nie widzę w tym nic mądrego. W zależności od tego jak zapisujemy współrzędne wektora gradientu.