Liczenie wyznaczników macierzy własnych

maka2020 · Post autor: **maka2020** » 2 mar 2015, o 22:26

Mam zadanie na obliczenie wartości i wektorów własnych. Jest sobie jakaś macierz i policzyłem jej macierz własną. Wygląda ona tak \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-\lambda&-4&6\\-3&4-\lambda&-9\\5&-10&13-\lambda\end{array}\right]}\).
Muszę teraz policzyć jej wyznacznik. Niby wszystko ok, reguła Sarrusa. Problem w tym, że mój profesor... nie pozwala liczyć tego Sarrusem. Niestety nie było mnie na ostatnich zajęciach i nie wiem, jak dokładnie kazał to liczyć, ale podobno metodą Gaussa. Ale jak zastosować metodę Gaussa do takiej macierzy?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 mar 2015, o 22:33

Przede wszystkim zobacz czy \(\displaystyle{ \lambda=0}\) nie jest wartością własną, czyli oblicz wyznacznik macierzy wyjściowej. Potem możesz wyciągnąć \(\displaystyle{ \lambda}\) z pierwszego wiersza przed wyznacznik. Itd.

maka2020 · Post autor: **maka2020** » 2 mar 2015, o 22:45

Jak wyciągnąć lambda z pierwszego wiersza przed wyznacznik?-- 2 mar 2015, o 23:06 --Może coś z zerowaniem kolumn/wierszy?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 mar 2015, o 23:30

Może dlatego wykładowca zabronił Sarrusa, abyście się nauczyli własności wyznaczników. Wyznacznik ma tę własność, że wspólny czynnik wiersza można wyciągnąć przed znak wyznacznika tak jak wyciąga się liczbę przed nawias.

maka2020 · Post autor: **maka2020** » 2 mar 2015, o 23:39

Ale lambda nie jest wspólnym czynnikiem pierwszego wiersza... Mam wyciągnąć dzieląc inne elementy przez lambda? Tylko co dalej?

//Już widzę. Faktycznie, dzięki za pomoc z tym przykładem. Ale co w przypadku, gdy mamy taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&-8&2\\-5&7-\lambda&1\\2&4&4-\lambda\end{array}\right]}\)

Tutaj już tak łatwo się nie wyciągnie tej lambdy?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 mar 2015, o 23:49

Jak to? Sprawdzasz czy \(\displaystyle{ \lambda=1}\) nie jest wartością własną i wyciągasz \(\displaystyle{ 1-\lambda}\). Możesz też wziąć \(\displaystyle{ \mu=1-\lambda}\) i mieć na przekątnej \(\displaystyle{ \mu,6+\mu,3+\mu}\), ale to przewaga formy nad treścią.

Jeśli nie pozwala na Sarrusa, to może metoda Chió?

Ukryta treść:

maka2020 · Post autor: **maka2020** » 3 mar 2015, o 00:02

Po wyciągnięciu dostaję macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-\frac{8}{1-\lambda}&\frac{2}{1-\lambda}\\-5&7-\lambda&1\\2&4&4-\lambda\end{array}\right]}\)

Co teraz? Mam zerować pierwszą kolumnę? Czy mi się wydaje, czy ta metoda jest jeszcze bardziej żmudna od Sarrusa?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 mar 2015, o 00:10

Przed wyznacznikiem masz mieć \(\displaystyle{ 1-\lambda}\). A jeśli wykładowca kazał, student wykonuje. To proste przekształcenia algebraiczne.

Dobrej nocy.