Sprawdzić aksjomaty iloczynu skalarnego

[grapefruit13]

Witam.

Mam za zadanie sprawdzić aksjomaty iloczynu skalarnego podanego odwzorowania. Wiem co to za aksjomaty, czuję o co chodzi, ale nie wiem jak to zapisać(np sprzężenie). Proszę o pomoc w rozwiązaniu

\(\displaystyle{ \langle x,y \rangle=x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}^{2}}\)

[jutrvy]

Musisz sprawdzić, że zachodzą trzy własności:

\(\displaystyle{ 1. \ \langle x_1+x_2, y\rangle = \langle x_1,y\rangle + \langle x_2,y\rangle}\)

\(\displaystyle{ 2. \ \langle x, y_1+y_2\rangle = \langle x,y_1\rangle + \langle x,y_2\rangle}\)

\(\displaystyle{ 3. \ \langle c\cdot x, y\rangle = \langle x, c\cdot y\rangle = c\cdot\langle x,y\rangle}\).

\(\displaystyle{ c\in\mathbb{R}}\)

Np własność pierwszą sprawdzisz biorąc dowolne \(\displaystyle{ x_1, x_2, y\in\mathbb{R}^2}\) i po prostu musisz to wyrachować na symbolach.

Pozdro

[grapefruit13]

Ok, to rozumiem U mnie troszkę inaczej te aksjomaty na wykładzie były rozpisane, ale pewnie to co napisałeś jest równoważne. Jeden z aksjomatów mowi, ze \(\displaystyle{ \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x\rangle}}\)

Jak rozpisać to sprzężenie w powyższym przykładzie ?

[a4karo]

Tak to jest, jak sie szczegółów nie podaje. Twój warunek dotyczy iloczynu skalarnego w przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych, a w treści zadania piszesz o \(\displaystyle{ \RR^2}\)

[grapefruit13]

A jeżeli np weźmiemy taki przykład:

\(\displaystyle{ \langle x,y \rangle=2ix_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}}\)
\(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{C}^{2}}\)

To mamy przypadek nad ciałem liczb zespolonych. Jak rozpisać zatem sprzężenie?

[a4karo]

Oblicz \(\displaystyle{ z_1=\langle x,y\rangle}\) i \(\displaystyle{ z_2=\langle y,x\rangle}\) i sprawdź, czy \(\displaystyle{ \overline{z_1}=z_2}\)