Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie operatorem działającym w przestrzeni nad dowolnym ciałem, a \(\displaystyle{ P}\) - dowolnym wielomianem na tym ciele. Jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ P(\lambda)}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ P(A)}\). Wykazać, że w przestrzeni zespolonej o skończonym wymiarze zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ P(A)}\), to \(\displaystyle{ \mu=P(\lambda)}\) dla pewnej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) operatora \(\displaystyle{ A}\).
Ktoś podpowie od czego zacząć?
Dowód twierdzenia o wartości własnej operatora
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dowód twierdzenia o wartości własnej operatora
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ C}\)
Niech \(\displaystyle{ P(z)=a_{0}+a_{1}z + ...+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n}z^{n}\in P[C].}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lambda \in C}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ P(A), A\in L(V).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ (P(A)-\lambda I) \neq \left\{O\right\}}\), \(\displaystyle{ I}\) - odwzorowanie identycznościowe
Na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry-wielomian \(\displaystyle{ P(z)-\lambda}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2},...,\alpha_{n-1}, \alpha_{n}.}\). Otrzymaliśmy podział na klasy: \(\displaystyle{ A - \alpha_{1}I, A - \alpha_{2}I ,..., A -\alpha_{n}I}\) i przynajmniej jeden z operatorów ma nietrywialną przestrzeń zerową.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (A -\alpha_{k}I)\neq \left\{O \right\}.}\) To oznacza, że \(\displaystyle{ \alpha_{k}}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(\alpha_{k})- \lambda= 0}\), więc \(\displaystyle{ \mu =\alpha_{k} .}\)
Na odwrót, załóżmy, że\(\displaystyle{ A}\) z wektorem własnym \(\displaystyle{ v}\) i niech\(\displaystyle{ \lambda=P(\mu).}\) Wtedy \(\displaystyle{ P(A)(v)=a_{0}v +a_{1}A(v)+...+a_{n-1}A^{n-1}(v) + a_{n}A^{n}(v)=a_{0}v +a_{1}\mu v+...+a_{n-1}\mu^{n-1}v +a_{n}\mu^{n}v = P(\mu)v =\lambda v.}\)
c.b.d.o.
Możemy teraz podać przykład, że twierdzenie to nie jest prawdziwe, jeśli zamienimy \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ R^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ A\in L(R^{2}}\) i \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right].}\) I niech \(\displaystyle{ p(x)=x^{2}.}\) Operator \(\displaystyle{ A}\) nie ma rzeczywistych wartości własnych \(\displaystyle{ (\lambda_{1}=-i, \lambda_{2}=i).}\)
Natomiast \(\displaystyle{ P(A) = A^{2}=\left[ \begin{array}{cc} -1&0\\ 0&-1 \end{array}\right]}\) ma jedną rzeczywistą wartość własną \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1.}\)
Niech \(\displaystyle{ P(z)=a_{0}+a_{1}z + ...+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n}z^{n}\in P[C].}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lambda \in C}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ P(A), A\in L(V).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ (P(A)-\lambda I) \neq \left\{O\right\}}\), \(\displaystyle{ I}\) - odwzorowanie identycznościowe
Na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry-wielomian \(\displaystyle{ P(z)-\lambda}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2},...,\alpha_{n-1}, \alpha_{n}.}\). Otrzymaliśmy podział na klasy: \(\displaystyle{ A - \alpha_{1}I, A - \alpha_{2}I ,..., A -\alpha_{n}I}\) i przynajmniej jeden z operatorów ma nietrywialną przestrzeń zerową.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (A -\alpha_{k}I)\neq \left\{O \right\}.}\) To oznacza, że \(\displaystyle{ \alpha_{k}}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(\alpha_{k})- \lambda= 0}\), więc \(\displaystyle{ \mu =\alpha_{k} .}\)
Na odwrót, załóżmy, że\(\displaystyle{ A}\) z wektorem własnym \(\displaystyle{ v}\) i niech\(\displaystyle{ \lambda=P(\mu).}\) Wtedy \(\displaystyle{ P(A)(v)=a_{0}v +a_{1}A(v)+...+a_{n-1}A^{n-1}(v) + a_{n}A^{n}(v)=a_{0}v +a_{1}\mu v+...+a_{n-1}\mu^{n-1}v +a_{n}\mu^{n}v = P(\mu)v =\lambda v.}\)
c.b.d.o.
Możemy teraz podać przykład, że twierdzenie to nie jest prawdziwe, jeśli zamienimy \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ R^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ A\in L(R^{2}}\) i \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right].}\) I niech \(\displaystyle{ p(x)=x^{2}.}\) Operator \(\displaystyle{ A}\) nie ma rzeczywistych wartości własnych \(\displaystyle{ (\lambda_{1}=-i, \lambda_{2}=i).}\)
Natomiast \(\displaystyle{ P(A) = A^{2}=\left[ \begin{array}{cc} -1&0\\ 0&-1 \end{array}\right]}\) ma jedną rzeczywistą wartość własną \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1.}\)