Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń

[Poszukujaca]

Mam wektory liniowo niezależne:
\(\displaystyle{ w_{1}=(1,0,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=(0,1,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=(0,0,0,1)}\)

Sprawdzam, czy generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\).

\(\displaystyle{ a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1,0)+c(0,0,0,1)=(x,y,z,t)}\)

czyli sprawdzam, czy sklary \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wyznaczone jednoznacznie

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ -a-b=z \\ c=t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ c=t \end{cases}}\) czyli skalary są wyznaczone jednoznacznie, a to oznacza, że wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie, czy moje rzumowanie jest poprawne i ewentualnie uwagi.

[Medea 2]

Trzy wektory nigdy nie generują \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\), przecież jej \(\displaystyle{ \dim_{\mathbb R} = 4}\).

[Poszukujaca]

Dobrze. Rozumiem. Wynika to z tego, że wymair danej przestrzeni to liczba elementów jej bazy.

Tylko jak wytłumaczyć fakt, że przy sprwdzaniu czy dany układ wektorów jest bazą danej przestrzeni - musimy sprawdzić czy są one liniowo niezależne oraz czy generują tą przestrzeń?

Czy nie powinno być tak, że jeśli mamy mniej wektorów w bazie niż wymiar tej przestrzeni, to automatycznie nie jest on bazą? A jeśli wektorów jest równa wymiarowi, to sprawdzenie bazy sprowadza się do sprawdzenia liniowej niezlaezności? Zatem po co w definicji bazy danej przestrzeni warunek o generowaniu jej?

[Medea 2]

To co piszesz, jest prawdą: baza to zbiór liniowo niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, wszystkie bazy są równoliczne. Warunek o generowaniu (rozpinaniu) jest po to, żeby było wiadomo, jaki jest wymiar przestrzeni Inaczej nie wiesz, czy masz już dostatecznie dużo wektorów.

[Poszukujaca]

W takim razie warunek tego rzadko kiedy się w ogóle sprawdza. A jak mamy podany wymiar przestrzeni, to już mamy go z głowy

[Poszukujaca]

Apropo generowania przestrzeni mam ważne pytanie.

Jak się ma liniowa niezależność wektorów do generowania przez nich przestrzeni? Czy abadajć jedno mogę zbadać jednocześnie drugie?

Na przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n}\) wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?

Proszę o wyjąśnienie jak to działa.-- 27 mar 2015, o 10:40 --Medea 2, a czy trzy wektory z \(\displaystyle{ C^{2}}\) mogą ją generować?

[Kacperdev]

Na przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni n i n wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?

Tak

a czy trzy wektory z \(\displaystyle{ C^{2}}\) mogą ją generować?

A jaki jest wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^{2}}\) ?

[Poszukujaca]

A jaki jest wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^{2}}\) ?

4?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \CC^{2} \neq \RR^{4}}\)

Popatrz jak definuje się przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^{n}}\)

[Poszukujaca]

Na przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni n i n wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?

Tak

A czy jest tak tylko w przypadku gdy wymiar przestrzeni i liczba wektorów jest taka sama?

[Kacperdev]

Tak zrozumiałem Twoje intencje.

Poszukujaca, nie wiem czemu tak sobie utrudniasz życie.

Przestrzeń \(\displaystyle{ n}\) wymiarowa ma \(\displaystyle{ n}\) wektorów bazowych, które generują przestrzeń i są liniowo niezależne. Inaczej:
Baza to MINIMALNY zbiór generatorów
Baza to MAKSYMALNY zbiór wektorów liniowo niezaleznych

Czyli jeżeli znajde zbiór \(\displaystyle{ n}\) wektorów liniowo niezależnych to od razu wiadomo, że są one bazą,a stad też generatorami.

Podobnie odwrotnie.

[Poszukujaca]

Baza to MINIMALNY zbiór generatorów

Czy to znaczy, że przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) może być generowana przez dowolną ilość wektorów z tej przestrzeni niemiejszą od \(\displaystyle{ n}\)?

[Kacperdev]

W pewnym sensie dowolną. Przecież jeżeli uzupełnisz bazę o dowolną ilość dowolnych wektorów z przestrzeni, to tez zbiór wciąż będzie generować przestrzeń.

To bodaj pierwszy wykład z algebry liniowej na temat przestrzeni liniowych

[Poszukujaca]

No tak... Widzisz jestem bardzo do tylu. Próbuje powolutku wszystko rozumeić z tej początkowej algebry liniowej..

Wracając jeszcze do wymiaru \(\displaystyle{ C^{2}}\) to dlaczego nie cztery?

[Kacperdev]

Każda przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^{n}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wektorów bazowych.

W poprzednim temacie pokazałem Ci jakiej postaci są te wektory z przestrzeni. Pomyśl nad podejrzaną bazą.