Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Mam wektory liniowo niezależne:
\(\displaystyle{ w_{1}=(1,0,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=(0,1,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=(0,0,0,1)}\)
Sprawdzam, czy generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\).
\(\displaystyle{ a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1,0)+c(0,0,0,1)=(x,y,z,t)}\)
czyli sprawdzam, czy sklary \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wyznaczone jednoznacznie
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ -a-b=z \\ c=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ c=t \end{cases}}\) czyli skalary są wyznaczone jednoznacznie, a to oznacza, że wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie, czy moje rzumowanie jest poprawne i ewentualnie uwagi.
\(\displaystyle{ w_{1}=(1,0,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=(0,1,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=(0,0,0,1)}\)
Sprawdzam, czy generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\).
\(\displaystyle{ a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1,0)+c(0,0,0,1)=(x,y,z,t)}\)
czyli sprawdzam, czy sklary \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wyznaczone jednoznacznie
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ -a-b=z \\ c=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=x \\ b=y \\ c=t \end{cases}}\) czyli skalary są wyznaczone jednoznacznie, a to oznacza, że wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{4}}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie, czy moje rzumowanie jest poprawne i ewentualnie uwagi.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Dobrze. Rozumiem. Wynika to z tego, że wymair danej przestrzeni to liczba elementów jej bazy.
Tylko jak wytłumaczyć fakt, że przy sprwdzaniu czy dany układ wektorów jest bazą danej przestrzeni - musimy sprawdzić czy są one liniowo niezależne oraz czy generują tą przestrzeń?
Czy nie powinno być tak, że jeśli mamy mniej wektorów w bazie niż wymiar tej przestrzeni, to automatycznie nie jest on bazą? A jeśli wektorów jest równa wymiarowi, to sprawdzenie bazy sprowadza się do sprawdzenia liniowej niezlaezności? Zatem po co w definicji bazy danej przestrzeni warunek o generowaniu jej?
Tylko jak wytłumaczyć fakt, że przy sprwdzaniu czy dany układ wektorów jest bazą danej przestrzeni - musimy sprawdzić czy są one liniowo niezależne oraz czy generują tą przestrzeń?
Czy nie powinno być tak, że jeśli mamy mniej wektorów w bazie niż wymiar tej przestrzeni, to automatycznie nie jest on bazą? A jeśli wektorów jest równa wymiarowi, to sprawdzenie bazy sprowadza się do sprawdzenia liniowej niezlaezności? Zatem po co w definicji bazy danej przestrzeni warunek o generowaniu jej?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
To co piszesz, jest prawdą: baza to zbiór liniowo niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, wszystkie bazy są równoliczne. Warunek o generowaniu (rozpinaniu) jest po to, żeby było wiadomo, jaki jest wymiar przestrzeni Inaczej nie wiesz, czy masz już dostatecznie dużo wektorów.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
W takim razie warunek tego rzadko kiedy się w ogóle sprawdza. A jak mamy podany wymiar przestrzeni, to już mamy go z głowy
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Apropo generowania przestrzeni mam ważne pytanie.
Jak się ma liniowa niezależność wektorów do generowania przez nich przestrzeni? Czy abadajć jedno mogę zbadać jednocześnie drugie?
Na przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n}\) wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?
Proszę o wyjąśnienie jak to działa.-- 27 mar 2015, o 10:40 --Medea 2, a czy trzy wektory z \(\displaystyle{ C^{2}}\) mogą ją generować?
Jak się ma liniowa niezależność wektorów do generowania przez nich przestrzeni? Czy abadajć jedno mogę zbadać jednocześnie drugie?
Na przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n}\) wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?
Proszę o wyjąśnienie jak to działa.-- 27 mar 2015, o 10:40 --Medea 2, a czy trzy wektory z \(\displaystyle{ C^{2}}\) mogą ją generować?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
TakNa przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni n i n wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?
A jaki jest wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^{2}}\) ?a czy trzy wektory z \(\displaystyle{ C^{2}}\) mogą ją generować?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
4?Kacperdev pisze:A jaki jest wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^{2}}\) ?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
\(\displaystyle{ \CC^{2} \neq \RR^{4}}\)
Popatrz jak definuje się przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^{n}}\)
Popatrz jak definuje się przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^{n}}\)
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
A czy jest tak tylko w przypadku gdy wymiar przestrzeni i liczba wektorów jest taka sama?Kacperdev pisze:TakNa przykład wiem, że jeśli mam dany wymiar przestrzeni n i n wektorów z niej, to czy badając liniową niezależność dowiaduje się tym samym, o tym czy te wektory generują przestrzeń? I na odwrót?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Tak zrozumiałem Twoje intencje.
Poszukujaca, nie wiem czemu tak sobie utrudniasz życie.
Przestrzeń \(\displaystyle{ n}\) wymiarowa ma \(\displaystyle{ n}\) wektorów bazowych, które generują przestrzeń i są liniowo niezależne. Inaczej:
Baza to MINIMALNY zbiór generatorów
Baza to MAKSYMALNY zbiór wektorów liniowo niezaleznych
Czyli jeżeli znajde zbiór \(\displaystyle{ n}\) wektorów liniowo niezależnych to od razu wiadomo, że są one bazą,a stad też generatorami.
Podobnie odwrotnie.
Poszukujaca, nie wiem czemu tak sobie utrudniasz życie.
Przestrzeń \(\displaystyle{ n}\) wymiarowa ma \(\displaystyle{ n}\) wektorów bazowych, które generują przestrzeń i są liniowo niezależne. Inaczej:
Baza to MINIMALNY zbiór generatorów
Baza to MAKSYMALNY zbiór wektorów liniowo niezaleznych
Czyli jeżeli znajde zbiór \(\displaystyle{ n}\) wektorów liniowo niezależnych to od razu wiadomo, że są one bazą,a stad też generatorami.
Podobnie odwrotnie.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Czy to znaczy, że przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) może być generowana przez dowolną ilość wektorów z tej przestrzeni niemiejszą od \(\displaystyle{ n}\)?Kacperdev pisze: Baza to MINIMALNY zbiór generatorów
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
W pewnym sensie dowolną. Przecież jeżeli uzupełnisz bazę o dowolną ilość dowolnych wektorów z przestrzeni, to tez zbiór wciąż będzie generować przestrzeń.
To bodaj pierwszy wykład z algebry liniowej na temat przestrzeni liniowych
To bodaj pierwszy wykład z algebry liniowej na temat przestrzeni liniowych
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
No tak... Widzisz jestem bardzo do tylu. Próbuje powolutku wszystko rozumeić z tej początkowej algebry liniowej..
Wracając jeszcze do wymiaru \(\displaystyle{ C^{2}}\) to dlaczego nie cztery?
Wracając jeszcze do wymiaru \(\displaystyle{ C^{2}}\) to dlaczego nie cztery?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Sprawdzić, czy wektory generują przestrzeń
Każda przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{K}^{n}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wektorów bazowych.
W poprzednim temacie pokazałem Ci jakiej postaci są te wektory z przestrzeni. Pomyśl nad podejrzaną bazą.
W poprzednim temacie pokazałem Ci jakiej postaci są te wektory z przestrzeni. Pomyśl nad podejrzaną bazą.