podprzestrzeń przestrzeni

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 19:06

Treść polecenia:
Sprawdzić czy S jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

\(\displaystyle{ S = \left\{ \left( x,y,z\right) \subseteq R^{3}:\left( 3x-y+z, x+y+z \right)\right\}}\)

Czy mógł bym prosić was o wyjaśnienie jak to rozwiązać? Jestem słaby w matmie ale na studiach informatycznych niestety wymagana jest

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 lut 2015, o 19:11

A wiesz co to jest podprzestrzeń?

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 19:31

Łopatologicznie mówiąc jest to przestrzeń X znajdująca się w przestrzeni Y. Tak?
Książna na której bazuje (autorstwa mojego wykładowcy) nie jest łopatologicznie wytłumaczona więc mogę się mylić

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 lut 2015, o 19:45

To jest prawda. No to teraz odpowiedz na pytania, które kryją się w zadaniu:
Czy \(\displaystyle{ S}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^3}\)? to to samo, co Czy \(\displaystyle{ S}\) jest przestrzenią znajdującą się w \(\displaystyle{ \RR^3}\)?. Zamiast "znajdująca się" lepiej byłoby mówić "zawierająca się w", bo ma to swoje matematyczne znaczenie

Wiesz jak odpowiedzieć na to pytanie?

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 19:52

Rozumiem że mam obliczyć wartość przestrzeni \(\displaystyle{ S}\)?
tzn.:
\(\displaystyle{ S=\left(x,y,z \right) =\left( 3x-y+z, x+y+z, 0\right)}\)
Coś takiego?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 lut 2015, o 20:11

Przestrzeń nie ma wartości. W treści zadania jest napisane, że \(\displaystyle{ S}\) to zbiór, a ty teraz piszesz, że \(\displaystyle{ S}\) to wektor. Wektor też nie ma wartości.

Skoro chcemy odpowiedzieć na pytanie Czy \(\displaystyle{ S}\) jest przestrzenią zawierającą się w \(\displaystyle{ \RR^3}\)?, to musimy odpowiedzieć na pytania:
Czy \(\displaystyle{ S}\) jest przestrzenią liniową?
Czy \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\)?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 22 lut 2015, o 20:16

musialmi, można sprytniej. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest przestrzenią liniową. Więc badana podejrzana podprzestrzeń \(\displaystyle{ S}\) musi zawierać się \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jako zbiór oraz spełniać warunki podprzestrzeni. Odpada nam kilka warunków.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 22 lut 2015, o 20:25

Skoro odpada kilka warunków, to albo nie znam jakiegoś wygodnego warunku na bycie podprzestrzenią, albo chciałem mało dogłębnie badać problem

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 22 lut 2015, o 20:30

Na podprzestrzeń są dw warunki.

Dla \(\displaystyle{ W \subset V}\)

\(\displaystyle{ 1. \text{ dla } v_1,v_2 \in W \ v_{1}+v_{2} \in W}\)
\(\displaystyle{ 2. av \in W \text{ dla } v \in W \text { a }}\) - elementem ciała nad którą jest dana przestrzeń

odpada nam sprawdzanie wektora zerowego, przemiennosci i całej reszty.

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 20:43

A mógł bym prosić o wyjaśnienie dokładnie tych warunków? Może dało by radę to rozpisać jakoś bardziej?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 22 lut 2015, o 20:45

Jakiego wyjaśnienia oczekujesz? Na to, że te warunki wystarczają, czy nie rozumiesz zapisu.

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 20:56

Nie rozumiem zapisu

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 22 lut 2015, o 21:01

Mówiąc potocznie... suma dwóch wektorów z podprzestrzeni musi należeć do podprzestrzeni. Pomnożenie przez skalar każdego wektora z podprzestrzeni musi należeć do podprzestrzeni.

Rozpatrz np. przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) można to intepretować jako zbiór wszystkich wektorów zaczepioych w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) na płaszczyznie kartezjańskiej (ta zwykła na której rysuje sie wykresy funkcji) Przykładową podprzestrzenią mogą być wszystkie wektory leżące na prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Pomyśl dlaczego... są spełnione warunki, które podałem?

djdave · Post autor: **djdave** » 22 lut 2015, o 21:55

Dzięki wielkie. Przemęczenie nie daje mi myśleć, więc dam sobie na razie spokój z tym zadaniem.