Udowodnić, że jeżeli U I W są podprzestrzeniami...

[Entman]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ U}\) \(\displaystyle{ \cap}\) \(\displaystyle{ W}\) jest też podprzestrzenią wektorową. Czy \(\displaystyle{ U}\) \(\displaystyle{ \cup}\) \(\displaystyle{ W}\) , \(\displaystyle{ U}\) \(\displaystyle{ \setminus}\) \(\displaystyle{ W}\) są podprzestrzeniami wektorowymi? Odpowiedź uzasadnić.

[yorgin]

Jakies próby?

Iloczyn to sprawdzenie definicji.

Suma i różnica są fałszywe i wystarczy podać proste przykłady.

[Entman]

Tzn właśnie akurat tak za bardzo nie wiem jakie tutaj rzeczy trzeba sprawdzać, a to zadanie jest takie dość typowe, to liczylem na to, że ktoś po prostu zaprezentuje na tym przykładzie jaka jest metoda na to zadanie, i ja bym się tej metody nauczył i mógłbym ją zastosować do innych takich zadań. ;d

[yorgin]

Udowadnia się przez przeprowadzenie odpowiedniego rozumowania.

Obala przez podanie przykładu.

Żadne z tych nie jest na zasadzie "kopiuj wklej inne rozumowanie".


Jeżeli więc chcesz sprawdzić, czy iloczyn jest podprzestrzenią, to powinieneś sprawdzić dwa warunki:

\(\displaystyle{ 0\in U\cap V}\)

\(\displaystyle{ x, y\in U\cap V\Rightarrow x-y\in U\cap V}\).

To akurat jest proste, rozpisujesz i samo wychodzi.

[Medea 2]

Podpowiem, że prostym kontrprzykładem będzie \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\) i odpowiednio dobrane podprzestrzenie.