Wyznaczyć odwzorowanie mając daną macierz w bazie B.

[jakub_s]

Dana jest macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3}\) w bazie \(\displaystyle{ B=((1,1,1),(0,1,-1),(1,0,0))}\)

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&2&-1\\0&2&4\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) oraz \(\displaystyle{ f(-1,-,1,-1)}\).

Nie chcę gotowca, tylko mógłby mi ktoś napisać jak to zrobić ?
Gdybym miał sytuację odwrotną tzn. miałbym odwzorowanie to spokojnie wyznaczyłbym macierz tego odwzorowania w bazie B.

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ f(1,1,1)=1\left( 1,1,1\right) + 0\left( 0,1,-1\right) + 0\left( 1,0,0\right)}\)

Baza to zbiór, więc zapis bazy jaki użyłeś nie jest prawidłowy.

[jakub_s]

Mógłbyś jaśniej ?
To jest zadanie z egzaminu, przepisałem treść dokładnie taka jaka była.

[Kacperdev]

Popatrz na def. macierzy odwzorowania w bazach i wszystko stanie sie jasne.

Bo mamy: \(\displaystyle{ f(1,1,1)=(1,1,1)}\)

Traktując podobnie pozostałe wektory będziesz mógł zbudować układ równań

poza tym ogolnie wzór będzie postaci: \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(ax+by+cz,dx+ey+fz,gx+hy+iz)}\)

stąd: \(\displaystyle{ (1,1,1)=(a+b+c,d+e+f,g+h+i)}\)

Powstaną 3 układy równań z których bardzo łatwo wyliczysz: \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f,g,h,i}\)

Można też bezposrednio z kombinacji liniowej, ale to trochę trudniejsze pod względem technicznym.

[jakub_s]

Dziękuję !
Na początku tak myślałem, ale nie wiem czemu ubzdurałem sobie, że układu nie będzie dało się rozwiązać.

\(\displaystyle{ f(1,1,1)=(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,-1)=(2,4,0)}\)
\(\displaystyle{ f(1,0,0)=(0,-4,3)}\)

\(\displaystyle{ f(1,1,1)=(a+b+c,d+e+f,g+h+i)=(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,-1)=(b-c,e-f,h-i)=(2,4,0)}\)
\(\displaystyle{ f(1,0,0)=(a,d,g)=(0,-4,3)}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z) = ( \frac{3}{2}y- \frac{1}{2}z, -4x + \frac{9}{2}y + \frac{1}{2}z, 3x - y -z)}\)

[Kacperdev]

Wspomnę też jednak (bo wypada) o bardziej eleganckiej metodzie

\(\displaystyle{ f(1,1,1)=f(1,0,0)+f(0,1,0)+f(0,0,1)=(1,1,1)}\)

Dla każdego tak obliczasz i jest trochę mniej rachunków.