Wyznaczyć Jądro przekształcenia

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 19:55

Witam.

Czy pomógłby mi ktoś wyznaczyć jądro przekształcenia opisanego wzorem:

\(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ -4x_{1} -3x_{2} -2x_{3} = 0 \\ -4x_{1} - 4x_{2} - x_{3} = 0\end{cases}}\)

mi wyszło:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = 6 \\ x_{2} = -3 \\ x_{3} = -12 \end{cases}}\)

ale to bez żadnego parametru t i nie wiem czy to dobrze jest i jaki w takim razie jest wymiar tego jądra ??

Z góry dziękuję.

Pozdrawiam Piter9414

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 lut 2015, o 20:02

Jakiego przekształcenia? Nie ma żadnego wzoru, jest tylko układ równań. Choć z tego można się domyślić, jak wygląda \(\displaystyle{ f}\).

Jądro jest na pewno źle wyznaczone. Po pierwsze zero zawsze jest w jądrze, po drugie jądro jest przestrzenią liniową, a u Ciebie jest to jeden punkt różny od zera.

Wymiar jądra wyznaczasz sprawdzając, ile wektorów bazowych posiada to jądro jako przestrzeń liniowa.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 21:07

tzn myślałem że wzoru nie musze pisać ale wzór wyglada tak:

\(\displaystyle{ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = [7x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3}, -4x_{1} -3x_{2} - 2x_{3}, -4x_{1} - 4x_{2} - x_{3}]}\)

Czy teraz dasz radę mi pomóc ?? i najlepiej opisać jak ułożyć układ równań ??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 21:39

Policz jeszcze raz układ równań który wylicza nam jądro, albo pokaż jak go liczysz bo coś tam kopiesz.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 21:59

No ukąłd równań jest w pierwszym poście z niego wyliczyłem jadro. Tylko nie mam zadnego parametru. Wyliczyłem to metodą eliminacji Gaussa.
A mógłbyś zrobić to zadanie z objaśnieniem ??

Jedno zadanie zrobiłęm w ten sposób i mi wyszło tutaj już nie.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 22:05

Chodzi o to, że ten układ nieprawidłowo rozwiązałeś. Wyznacznik główny macierzy jest niezerowy a pozostałe oczywiście są zerami, więc jądrem będzie tu wektor zerowy - tylko.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 22:13

Czyli jądro to same zera ??

A czy tak w ogóle może być ?? Pytam żeby się tylko upewnić gdyż jestem zielony w temacie. I dlatego chciałbym żeby ktoś mi wytłumaczył jak krok po kroku zabrać sie za takie zadanie.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 22:19

Całe zadanie sprowadza się do układu, który dobrze przedstawiłeś, ale źle rozwiązałeś.
Tak, jądro może składać się z tylko z wektora zerowego. Wtedy to przekształcenie jest różnowartościowe. \(\displaystyle{ \ker f = \left\{ 0\right\}}\)

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 22:27

A wymiar tego jądra byłby teraz równy 1 ??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 22:30

No nie. Wymiar będzie zerowy. Jeden byłby, gdyby bazą byłby jeden niezerowy wektor. Tu mamy trywialną sprawę. Wektor zerowy, który przy okazji generuje trywialną zerową przestrzeń.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 22:37

Czyli poprawnie sformułowany wynik to byłby:

\(\displaystyle{ \ker f = [0]}\)

\(\displaystyle{ \dim \ker f = 0}\)

??

czy może Kerf zapisać jako wektor z trzema współrzędnymi równymi zero ?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 22:39

Tak jak zapisałeś jądro, to nie jest ok.

Tak jak podałem \(\displaystyle{ \ker f = \left\{ 0\right\}}\) lub \(\displaystyle{ \ker f = \left\{ \left(0,0,0 \right)\right\}}\)

Jądro to zbiór, więc niech nim pozostanie.
Wymiar ok.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 22:54

A jeszcze pytanie czy jak rozwiązuje już właściwe równanie metodą Gaussa to czy mogą wyjść różne jądra ?? bo w zależności od tego w jaki sposób użyje przekształceń elementarnych wychodzą inne wyniki. Mają wspólny wymiar jadra ale elementy już sie nieco róznią. Czy tak może być ??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lut 2015, o 22:59

No jądra muszą wyjść takie same dla każdej metody. Ale wektory generujące te jądra mogą być już różne. Ważne aby razem generowały tę samą przestrzeń

np. \(\displaystyle{ \ker f = \Lin\left( 1,1,1\right) = \Lin\left( -7,-7,-7\right)}\)

wektory generujące przestrzeń są różne, ale generują dokładnie taką sama podprzestrzeń.

\(\displaystyle{ \Lin \vec{v} = \left\{ a \cdot \vec{v} : a \in \RR\right\}}\)

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 14 lut 2015, o 23:00

Jądra w sensie te współczynniki przy zmiennych tak ?? one muszą być takie same bo one mi różne wychodzą.