Jądro i obraz odwzorowania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mdcbnmw2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 24 lis 2014, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 2 razy

Jądro i obraz odwzorowania

Post autor: mdcbnmw2000 »

Dany jest endomorfizm :
\(\displaystyle{ f : R[x3] \rightarrow R[x3]}\)
taki ze :
\(\displaystyle{ f(w)(x) = (x-1) w''(x) + w'(x) + w'(0) (3x^{2} -2x -1)}\)

Wyznacz obraz,jądro ich bazy i wymiary
Przyjąłem sobie : wielomian z \(\displaystyle{ R[x3] = ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\)
wtedy : \(\displaystyle{ f(w)(x) = x^{2}(9a + 3c) + x(4b - 6a -2c)}\)

Po przyrownaniu odwzorowania do zera wyszło mi że :
\(\displaystyle{ b = 0 \wedge c = -3a \Rightarrow \ker F = \lin\{ [1,0,-3] \} \Rightarrow}\) jest to baza jądra i wymiar\(\displaystyle{ = 1}\)

Mam jednak problem z wyznaczeniem obrazu odwzorowania.

Czy aby je wyznaczyć po prostu podstawiam wektory bazy kanonicznej wielomianu o stopniu co najwyzej 3 za x?

Bardzo proszę o wskazówkę/rozwiązanie.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Jądro i obraz odwzorowania

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ f(w)(x) = a(9x^2-6x)+ 4bx+c(3x^2-2x)\\
\mathrm{Im}\,f=\mathrm{lin}\left\{(9,-6,0),(0,4,0),(3,-2,0)\right\}=\mathrm{lin}\left\{(1,0,0),(0,1,0)\right\}}\)
ODPOWIEDZ