Wyznacz Ker f oraz Im f jeśli

[wirher]

Dzień dobry. Rozwiązuję sobie takie zadanie:
"Wyznacz Ker f oraz Im f jeśli"
\(\displaystyle{ f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3, f( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \begin{bmatrix}x_{1} - x_{2} + x_{4} \\ x_{1}+2x_{3}-x_{4} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{bmatrix}}\)
z moich obliczeń wyszło mi:
\(\displaystyle{ Ker (f) = lin(-1, 0, 1) \\
Im (f)=lin(1,0,1)(0, 1, 0)}\)
czy mógłby ktoś sprawdzić czy to rozwiązanie jest poprawne?

[Qń]

\(\displaystyle{ Ker (f) = lin\left\{ (-1, 0, 1)\right\} \\
Im (f)=lin\left\{ (1,0,1),(0, 1, 0)\right\}}\)
czy mógłby ktoś sprawdzić czy to rozwiązanie jest poprawne?

Z całą pewnością jest złe, bo suma wymiaru obrazu i wymiaru jądra musi być równa \(\displaystyle{ 4}\). A jądro jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\).

Q.

[wirher]

No dobra. Policzyłem trochę inaczej i wyszło mi rozwiązanie z parametrem
\(\displaystyle{ lin{(-t, 0, t, t)}, t \in \mathbb{R}}\)
Czy jest to możliwe? Chyba, że parametr jest tu nieistotny i rozwiązaniem byłoby:
\(\displaystyle{ lin{(-1, 0, 1, 1)}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ lin{(-t, 0, t, t)}, t \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ lin{(-1, 0, 1, 1)}}\)

Oba napisy są niepoprawne formalnie. Można napisać:
\(\displaystyle{ \ker f = \textrm{lin} \left\{ (-1,0,1,1)\right\}}\)
lub
\(\displaystyle{ \ker f = \left\{ (-t,0,t,t) : t\in \RR\right\}}\)

A inna sprawa, że znów wymiar jądra i obrazu nie sumują się do czwórki tak jak powinny, więc zły jest nie tylko zapis, ale także rachunki.

Q.

[wirher]

Policzyłem jeszcze inaczej i wyszło mi
\(\displaystyle{ ker f =lin\left\{(0, 0, 0)\right\}}\)
I raczej jest to błędne, albo nie sprawdziłem jakiegoś warunku, który pewnie mówi coś ważnego o właściwości tego jądra i bez potrzeby starałem się je liczyć.
Wiem, że proszę o dużo, ale czy mógłbyś pokazać mi jak rozwiązać to zadanie?
PS. Już wiem czemu ciągle miałem zły zapis - po prostu latex nie interpretuje samego "{".

[Qń]

Jądro wyznaczyłeś prawidłowo wcześniej - jest to \(\displaystyle{ \ker f = \textrm{lin} \left\{ (-1,0,1,1)\right\}}\). Natomiast źle wyznaczyłeś obraz. Zauważ, że skoro wymiary jądra i obrazu sumują się do czterech, to wymiar obrazu musi być równy trzy. A ponieważ obraz jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^3}\), to bez żadnych rachunków można powiedzieć jaka to podprzestrzeń.

Gdybyśmy zaś nie mieli równie wygodnej sytuacji, to w ogólności obraz to przestrzeń rozpięta na kolumnach macierzy przekształcenia - wystarczy więc wybrać maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn.

Q.

[wirher]

Super, dziękuje Ci bardzo! Jeśli nie masz nic przeciwko, to zadam kilka pytań, które zapewne są oczywiste, ale ja nadrabiam algebrę praktycznie od początku, więc nie chcę tylko się wykuć schematów do jednego zdania, ale też zrozumieć na czym to polega.

1) Co mogę odczytać z samego \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3}\)? Czy to z tego wynika, że wymiar jądra i obrazu ma się sumować do 4? A może to już mi mówi jakiej wielkości jest obraz, a jakiej jądro? (w tym przykładzie wyglądałoby to tak, że \(\displaystyle{ dim \ kerf = 4-3}\), ale wolę nie wyciągać samemu takich wniosków)
2) Czy w zapisie \(\displaystyle{ ker f= lin\left\{ (a_{1}, b_{1}, c{1}), (a_{2}, b_{2}, c_{2}), ...,(a_{n}, b_{n}, c_{n}) \right\}, n= dim\ kerf}\) ?
3) Czy w tym zadaniu, które pomogłeś mi rozwiązać \(\displaystyle{ Im f = lin\left\{ (1, -1, 0, 1),(1,0,2,-1),(1,-1,1,0)\right\}}\)?

[Qń]

Ad. 1 Jeśli \(\displaystyle{ f:V\to W}\) jest przekształceniem liniowym, to \(\displaystyle{ \dim V = \dim\ker f + \dim \textrm{Im} f}\)

Ad. 2 Wymiar przestrzeni liniowej to liczba wektorów bazowych. Niekoniecznie jest więc tak jak piszesz, bo na przykład \(\displaystyle{ \RR^2 = \textrm{lin} \left\{ (1,0),(0,1), (1,1)\right\}}\), a wymiar \(\displaystyle{ \RR^2}\) to dwa, a nie trzy.

Ad. 3 Oczywiście nie. Tak jak napisałem - obraz to przestrzeń rozpięta na kolumnach macierzy przekształcenia. Ale w tym wypadku nie trzeba korzystać z tego faktu, bo wymiar obrazu to \(\displaystyle{ 4-1=3}\), a jedyną liniową podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^3}\) wymiaru trzy jest całe \(\displaystyle{ \RR^3}\) - taki zatem jest właśnie obraz.

Q.