Wykaż że zbiór stanowi podprzestrzeń

[mdcbnmw2000]

\(\displaystyle{ U = \left\{w \in \RR_{3}[x] : w(0) = w'''(0) \wedge 2(w'(x) - w'(0) ) = xw''(x) \right\}}\)
\(\displaystyle{ w = ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\)
\(\displaystyle{ w' =3ax^{2} + 2bx + c}\)
\(\displaystyle{ w'' = 6ax + 2b}\)
\(\displaystyle{ w''' = 6a}\)
Po podstawieniu wychodzi mi że \(\displaystyle{ d = 6a \wedge 4bx = 2bx}\)
Czyli niby zgadzało by się tylko dla \(\displaystyle{ b = 0. \ i \ d = 6a}\)

Utknąłem,nie wiem co robić z tym dalej.
Potem muszę jeszcze znalezc bazę i wymiar tej podprzestrzeni

Proszę o jakieś wskazówki jak to dokończyć lub uwagi co do ewentualnych błędów.


Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Kacperdev]

SKorzystajmy z faktu, że przestrzeń wielomianów trzeciego stopnia jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \RR^{4}}\)


Innymi słowy możemy przykładowy wielomian \(\displaystyle{ w(x) = ax^{3} + bx^{2} +cx + d}\) interpretować jako wektor \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right)}\)

Przekształcenia masz dobre zatem jeżeli naszą podprzestrzeń oznaczmy jako \(\displaystyle{ V}\) to wektory postaci:

\(\displaystyle{ \left( a,0,c,6a\right) \in V}\)

Błędy masz w zapisie tych wielomianów. możemy mówić o wielomianie \(\displaystyle{ w}\), ale gdy już podajemy konkretną postać należy napisać \(\displaystyle{ w\left( x\right) = \ldots}\)