Odwzorowanie liniowe

[mdcbnmw2000]

Potrzebuję aby ktoś skorygował moje nieudolne próby znalezienia bazy oraz jądra odwzorowania liniowego.

Mamy odwzorowanie : \(\displaystyle{ f(x,y,z) = (2x-y+z, x+2y-z, -x+3y-2z, 8x+y+z)}\)

Chcę obliczyć bazę oraz jądro tego odwzorowania a następnie podać ich wymiary.

Proszę skorygujcie mnie jeśli się mylę ale gdy chcę znalezć jądro odwzorowania to przyrównuję je do wektora zerowego a następnie...? No własnie tutaj mam problem. Próbowałem wyrazić wszystkie zmienne jakąś inną zmienną co mi się w sumie udało i otrzymałem :
\(\displaystyle{ x, y = 3x,z = -5x}\) z tym że nie wiem co dalej (gdy podstawiam to do wzoru odwzorowania to wszystko się zeruje ).
Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś to dokończył i wytłumaczył mi w zrozumiały sposób schemat postępowania.


Gdy chcę znalezc obraz to wystarczy że "rozdzielę" wszystkie x,y i z , tak?

Rozdzielę,czyli :
\(\displaystyle{ \left( 2x-y+z, x+2y-z, -x+3y-2z, 8x+y+z\right) = x\left( 2,1,-1,8\right) + y\left(1,2,3,1\right) + z\left(1,-1,-2,1\right)}\)czyli
\(\displaystyle{ LimF = \left\{ (2,1,-1,8),(1,2,3,1),(1,-1,-2,1)\right\}}\) I już mam obraz?

Czy gdy będę chciał wyznaczyć liniowo niezależne wektory na przykład z obrazu odwzorowania to jak zrobić to najlepiej? Wrzucać w macierz najpierw wszystkie , a jeśli nie wyjdzie to wszystkie pary 2 itp czy jest jakiś lepszy sposób?

Wiem że sporo pytań jednak mam nadzieję że komuś będzie się chciało na nie odpowiedzieć. Pozdrawiam.

[Kacperdev]

Tak, przyrównujesz je do zera i badasz rozwiązywalność i rozwiązania, o ile istnieją, danego układu jednorodnego. Po co jakieś nowe zmienne? Chyba, że masz na myśli parametry.

Co do obrazu: należy jeszcze sprawdzić, czy powstały układ wektorów jest liniowo niezależny.
Wrzucanie w macierz wszystkich i doprowadzenie do macierzy trójkątnej polecam.

Obraz to \(\displaystyle{ \text{Im}}\), a nie \(\displaystyle{ Lim}\)

[mdcbnmw2000]

Popełniałem bardzo głupi błąd mianowicie te zmienne które wyraziłem poprzez inne zmienne licząc je z układu równań powstałego z odwzorowania wrzucałem znowu do tych samych równań z których je wyliczyłem tak więc musiały się zerować.

A powinienem był (aby wyznaczyć jądro tego odwzorowania) wrzucić te wyrażone zmienną x zmienne y i z do wektora który jest odwzorowywany czyli zamiast \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\)mam\(\displaystyle{ f(x,3x,-5x)}\)tak więc \(\displaystyle{ \ker F}\) tego odwzorowania to wektor \(\displaystyle{ (1,3,-5)}\) - zgadza się?

Czyli skoro mam jądro \(\displaystyle{ (1,3,-5)}\) to z tego ze \(\displaystyle{ \dim \ker F +\dim \text{Im} = 3}\) wiem że wyznaczony przeze mnie obraz jest liniowo zalezny - wiec wrzucam go w macierz , Gaussem do trójkątnej i dwa wektory jakie się nie wyzerują będą moim obrazem.

Jeżeli się gdziekolwiek myle to proszę o poprawienie mnie a jeśli nie to chyba zakumałem o co w tym chodzi.

[Kacperdev]

Bardzo chaotycznie napisałeś i niewiele z tego zrozumiałem.

Jedynie mogę stwierdzić, że z obrazem racja. Tak należy zrobić.

Pokaż jak szukasz tego jądra.