Określanie jądra i obrazu odwzorowania.

[piter96]

Witam wszystkich , mam problem z wyznaczeniem obrazu i jądra odwzorowania i będę bardzo wdzięczny za jakąkolwiek pomoc. Czym prostsze wytłumaczenie tym lepsze.

Oto treść :

Jest dane odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \RR[x_2] \rightarrow \RR[x_2]}\) takie że :
\(\displaystyle{ f(w)(x) = (x^{2} + x + 1) \cdot w(-1) - w(x)}\)
Wyznacz Imf,Kerf ich bazy oraz wymiary.

Zacznę może od Kerf bo to wydaje mi się bardziej zrozumiałe.
Mamy jakiś wielomian stopnia co najwyżej 2 :
\(\displaystyle{ g(x) = ax^{2} + bx + c}\)

Po podstawieniu do odwzorowania wychodzi mi coś takiego :
\(\displaystyle{ f(g)(x) = x^{2}(c-b) + x(a + c - 2b) + a - b}\)

Z definicji wiem że jądro odwzorowania to przeciwobraz wektora 0 wzgledem tego odwzorowania.
Wychodzi mi że wielomian g(x) zeruje się dla dowolnych a,b i c gdzie a = b = c.

I jak teraz wyznaczyć z tego jądro?

Bardzo proszę o wszelkie wskazówki dotyczące wyznaczania jądra tego odwzorowania jak również jego obrazu (bazy i wymiary wydają mi się proste).

Z góry dziękuje.

[Kacperdev]

czyli elementy jądra można opisać przy pomocy wielomianu \(\displaystyle{ \ker f = \left\{ ax^2+ax+a \ : \ a \in \RR\right\}}\).

Spróbuj przełożyć sobie język wielomianów na język wektorów. Wtedy sprawa staje się prostsza.

[mdcbnmw2000]

\(\displaystyle{ ker f = (1,1,1)}\) ( jako że a ,b i c to ta sama zmienna )
Mam problem z Im f.

Na wektorach zawsze się po prostu podstawiało wektory z bazy kanonicznej i to co się otrzymało było obrazem danego odwzorowania.

Podążając tą logiką otrzymałbym \(\displaystyle{ Im F = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}}\)
Z jednej strony widze że coś się nie zgadza gdyż warunek Dim R[x]2 = Dim Ker F + Dim Im F nie jest spelniony no ale z drugiej widac ze wektory z Im F sa liniowo niezalezne czyli problem jest w tym że one nie są wcale wektorami tworzącymi Im F. Pozostaje pytanie jak je prawidłowo wyznaczyć.

Proszę o napisanie czy Ker F jest ok i co złego jest w mojej logice wyznaczania ImF

[Kacperdev]

Jądro nie składa się z jednego wektora. Jak już to:

\(\displaystyle{ \ker f = \Lin\left( 1,1,1\right)}\)

Co do obrazu:

tłumacząc to przekształcenie z języka wielomianów na wektorów mamy:

\(\displaystyle{ f\left( a,b,c\right) = \left( c-b,a+c-2b,a-b\right)}\)

zatem: \(\displaystyle{ \left( c-b,a+c-2b,a-b\right) = a\left( 0,1,1\right) + b\left( -1,-2,-1\right) + c\left( 1,1,0\right)}\)

Stad już łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ \text{Im f} = \Lin\left[ \left( 0,1,1\right), \left( 1,1,0\right) \right]}\)

i wszystko się zgadza bo wymiar jądra wynosi jeden, obrazu dwa. Suma równa się trzy. A przestrzeń \(\displaystyle{ \RR_{2}\left[ x\right] \cong \RR^{3}}\) którego wymiar to trzy.