Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 26 maja 2011, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Witam. Przekopuję się właśnie przez zbiory zadań z algebry liniowej i natrafiłem na przykład taki (polecenie jest tytułem tematu):
\(\displaystyle{ V = \mathbb{R}^2, W = \left\{ x \in \mathbb{R}:x = [2t, t+1]^T, t \in \mathbb{R}\right\}}\)
chcę się teraz upewnić, czy robię takie zadanie dobrze.
\(\displaystyle{ u=[a, b]}\)
\(\displaystyle{ v=[c, d]}\)
\(\displaystyle{ [2a, b+1] + [2c, d+1] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
\(\displaystyle{ [2(a+c), b+d+2] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
I stąd wynika, że W nie jest podprzestrzenią V. \(\displaystyle{ au \in V}\) mogę już pominąć. Zgadza się?
\(\displaystyle{ V = \mathbb{R}^2, W = \left\{ x \in \mathbb{R}:x = [2t, t+1]^T, t \in \mathbb{R}\right\}}\)
chcę się teraz upewnić, czy robię takie zadanie dobrze.
\(\displaystyle{ u=[a, b]}\)
\(\displaystyle{ v=[c, d]}\)
\(\displaystyle{ [2a, b+1] + [2c, d+1] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
\(\displaystyle{ [2(a+c), b+d+2] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
I stąd wynika, że W nie jest podprzestrzenią V. \(\displaystyle{ au \in V}\) mogę już pominąć. Zgadza się?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Tak, dobrze.
Nie jest spełniony pierwszy warunek z definicji podprzestrzeni - addytywność, więc drugiego - jednorodności sprawdzać już nie trzeba.
Nie jest spełniony pierwszy warunek z definicji podprzestrzeni - addytywność, więc drugiego - jednorodności sprawdzać już nie trzeba.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Dla mnie to nie jest dobrze. Wziąłeś jakieś dwa wektory, coś napisałeś, nic z tego nie wynika, nie rozumiem.
Podaj kontrprzykład. \(\displaystyle{ [2,2]}\) należy do przestrzeni dla \(\displaystyle{ t=1}\), \(\displaystyle{ [0,1]}\) też (dla \(\displaystyle{ t=0}\)). Ich suma nie, bo gdyby \(\displaystyle{ [2,3] = [2t,t+1]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\), to jednocześnie \(\displaystyle{ t = 1}\) i \(\displaystyle{ t = 2}\).
Formalnie \(\displaystyle{ W}\) nie ma szans na bycie podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) przez pokraczny zapis. Jeżeli \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie może być wektorem z \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)! I to wolne \(\displaystyle{ t}\) wyrwane spod kwantyfikatora... Brrr.
Podaj kontrprzykład. \(\displaystyle{ [2,2]}\) należy do przestrzeni dla \(\displaystyle{ t=1}\), \(\displaystyle{ [0,1]}\) też (dla \(\displaystyle{ t=0}\)). Ich suma nie, bo gdyby \(\displaystyle{ [2,3] = [2t,t+1]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\), to jednocześnie \(\displaystyle{ t = 1}\) i \(\displaystyle{ t = 2}\).
Formalnie \(\displaystyle{ W}\) nie ma szans na bycie podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) przez pokraczny zapis. Jeżeli \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie może być wektorem z \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)! I to wolne \(\displaystyle{ t}\) wyrwane spod kwantyfikatora... Brrr.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 26 maja 2011, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Medea 2, wyszedłem z założenia, że jeśli W jest podprzestrzenią to dla dowolnych dwóch wektorów z przestrzeni V powinno zachodzić coś w stylu \(\displaystyle{ u^T+v^T = (u+v)^T}\) (gdzie T traktuje jako przekształcenie, nie wiem czy dobry zapis).
Chyba, że źle zinterpretowałem zadanie. Pewnie powinienem potraktować przekształcenie jako \(\displaystyle{ 2tx + (t+1)y = 0}\) i wyznaczyć dla jakich parametrów będzie ona podprzestrzenią, tak?
Chyba, że źle zinterpretowałem zadanie. Pewnie powinienem potraktować przekształcenie jako \(\displaystyle{ 2tx + (t+1)y = 0}\) i wyznaczyć dla jakich parametrów będzie ona podprzestrzenią, tak?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Niestety nie odpowiem na to pytanie z braku czasu, ale to, że \(\displaystyle{ W}\) nie jest podprzestrzenią możesz pokazać jeszcze szybciej - nie zawiera wektora zerowego.
(\(\displaystyle{ W}\) to tak naprawdę prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = 1+x/2}\), może to Ci pomoże w wizualizacji całości)
(\(\displaystyle{ W}\) to tak naprawdę prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = 1+x/2}\), może to Ci pomoże w wizualizacji całości)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Jednak mam trochę czasu A więc zacznijmy od definicji. \(\displaystyle{ W}\) jest podporzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) i \(\displaystyle{ W}\) jest p. liniową. To rozumiesz?
Teraz \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) (jak trochę poprawisz zapis, mniejsza o to), ale nie są spełnione wszystkie aksjomaty. Jeden z nich mówi, że każda p. liniowa musi mieć wektor zerowy, tzn. takie \(\displaystyle{ v}\), że dla każdego \(\displaystyle{ u}\) mamy \(\displaystyle{ v+u = u+v = u}\). Naturalnym kandydatem jest wektor \(\displaystyle{ [0,0]}\) (w końcu jest wektorem zerowym w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)), ale niestety nie należy do \(\displaystyle{ W}\).
Teraz \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) (jak trochę poprawisz zapis, mniejsza o to), ale nie są spełnione wszystkie aksjomaty. Jeden z nich mówi, że każda p. liniowa musi mieć wektor zerowy, tzn. takie \(\displaystyle{ v}\), że dla każdego \(\displaystyle{ u}\) mamy \(\displaystyle{ v+u = u+v = u}\). Naturalnym kandydatem jest wektor \(\displaystyle{ [0,0]}\) (w końcu jest wektorem zerowym w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)), ale niestety nie należy do \(\displaystyle{ W}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 26 maja 2011, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
Rozumiem, czyli nie jesteśmy w stanie utworzyć wektora zerowego podstawiając rzeczywiste t do wektora [2t, t+1] - czy o to chodzi?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.
No... tak! Formalna (i poprawna) definicja \(\displaystyle{ W}\): \(\displaystyle{ \{ [2t, t+1] : t \in \mathbb R\}}\), ewentualnie \(\displaystyle{ \{[a,b] \in \mathbb R^2 : (\exists t \in \mathbb R)(a = 2t \wedge b = t+1)\}}\) (paskudniej).