Sprawdź czy W jest podprzestrzenią V.

[wirher]

Witam. Przekopuję się właśnie przez zbiory zadań z algebry liniowej i natrafiłem na przykład taki (polecenie jest tytułem tematu):
\(\displaystyle{ V = \mathbb{R}^2, W = \left\{ x \in \mathbb{R}:x = [2t, t+1]^T, t \in \mathbb{R}\right\}}\)
chcę się teraz upewnić, czy robię takie zadanie dobrze.
\(\displaystyle{ u=[a, b]}\)
\(\displaystyle{ v=[c, d]}\)
\(\displaystyle{ [2a, b+1] + [2c, d+1] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
\(\displaystyle{ [2(a+c), b+d+2] \neq [2(a+c), b+d+1]}\)
I stąd wynika, że W nie jest podprzestrzenią V. \(\displaystyle{ au \in V}\) mogę już pominąć. Zgadza się?

[Poszukujaca]

Tak, dobrze.

Nie jest spełniony pierwszy warunek z definicji podprzestrzeni - addytywność, więc drugiego - jednorodności sprawdzać już nie trzeba.

[Medea 2]

Dla mnie to nie jest dobrze. Wziąłeś jakieś dwa wektory, coś napisałeś, nic z tego nie wynika, nie rozumiem.

Podaj kontrprzykład. \(\displaystyle{ [2,2]}\) należy do przestrzeni dla \(\displaystyle{ t=1}\), \(\displaystyle{ [0,1]}\) też (dla \(\displaystyle{ t=0}\)). Ich suma nie, bo gdyby \(\displaystyle{ [2,3] = [2t,t+1]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\), to jednocześnie \(\displaystyle{ t = 1}\) i \(\displaystyle{ t = 2}\).

Formalnie \(\displaystyle{ W}\) nie ma szans na bycie podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) przez pokraczny zapis. Jeżeli \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie może być wektorem z \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)! I to wolne \(\displaystyle{ t}\) wyrwane spod kwantyfikatora... Brrr.

[wirher]

Medea 2, wyszedłem z założenia, że jeśli W jest podprzestrzenią to dla dowolnych dwóch wektorów z przestrzeni V powinno zachodzić coś w stylu \(\displaystyle{ u^T+v^T = (u+v)^T}\) (gdzie T traktuje jako przekształcenie, nie wiem czy dobry zapis).

Chyba, że źle zinterpretowałem zadanie. Pewnie powinienem potraktować przekształcenie jako \(\displaystyle{ 2tx + (t+1)y = 0}\) i wyznaczyć dla jakich parametrów będzie ona podprzestrzenią, tak?

[Medea 2]

Niestety nie odpowiem na to pytanie z braku czasu, ale to, że \(\displaystyle{ W}\) nie jest podprzestrzenią możesz pokazać jeszcze szybciej - nie zawiera wektora zerowego.

(\(\displaystyle{ W}\) to tak naprawdę prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = 1+x/2}\), może to Ci pomoże w wizualizacji całości)

[wirher]

Teraz to już całkowicie nie wiem o co tu chodzi...

[Medea 2]

Jednak mam trochę czasu A więc zacznijmy od definicji. \(\displaystyle{ W}\) jest podporzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) i \(\displaystyle{ W}\) jest p. liniową. To rozumiesz?

Teraz \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) (jak trochę poprawisz zapis, mniejsza o to), ale nie są spełnione wszystkie aksjomaty. Jeden z nich mówi, że każda p. liniowa musi mieć wektor zerowy, tzn. takie \(\displaystyle{ v}\), że dla każdego \(\displaystyle{ u}\) mamy \(\displaystyle{ v+u = u+v = u}\). Naturalnym kandydatem jest wektor \(\displaystyle{ [0,0]}\) (w końcu jest wektorem zerowym w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)), ale niestety nie należy do \(\displaystyle{ W}\).

[wirher]

Rozumiem, czyli nie jesteśmy w stanie utworzyć wektora zerowego podstawiając rzeczywiste t do wektora [2t, t+1] - czy o to chodzi?

[Medea 2]

No... tak! Formalna (i poprawna) definicja \(\displaystyle{ W}\): \(\displaystyle{ \{ [2t, t+1] : t \in \mathbb R\}}\), ewentualnie \(\displaystyle{ \{[a,b] \in \mathbb R^2 : (\exists t \in \mathbb R)(a = 2t \wedge b = t+1)\}}\) (paskudniej).