Macierz zmiany bazy - sens macierzy

[ReallyGrid]

Cześć. Znam regułę konstruowania macierzy zmiany bazy. Wektory nowej bazy zapisać kolumnowo przez kombinacje liniowe wektorów starej bazy. Nie rozumiem jednakże dlaczego taką macierz M nazywa się macierzą zmiany bazy skoro aby obliczyć współrzędne wektora w nowej bazie C znając jego współrzędne w starej B to trzeba jeszcze taką otrzymaną macierz odwrócić i dopiero taką odwróconą macierz przemnożyć przez wektor.

\(\displaystyle{ \mathbf{v}_C' = M^{-1} \cdot \mathbf{v}_B}\)

I właśnie chodzi mi o zrozumienie dlaczego macierzą zmiany bazy nazywamy macierz przed odwróceniem skoro praktyczne wykorzystanie jej następuje dopiero gdy się ją odwróci. Proszę o wytłumaczenie.

[Keyres]

Ponieważ macierz zmiany bazy przydaje się też w przekształcaniu np. macierzy formy dwuliniowej - wtedy w nowej bazie macierz określona jest wzorem \(\displaystyle{ F' = A ^{t} FA}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) macierz zmiany bazy. Analogicznie dla macierzy endomorfizmów (chociaż tam trzeba też macierz odwrócić - ale wykorzystujemy obie).

Jeżeli aż tak ci to przeszkadza możesz przechodzić "odwrotnie" czyli zapisywać wektory obecnej bazy w nowej bazie - wtedy przejście będzie po prostu przemnożeniem przez macierz (dla wektorów).