Czy przekształcenie jest liniowe? Wyznacz macierz

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 11 lut 2015, o 14:13

Witam.

Czy wytłumaczyłby mi ktoś krok po kroku jak rozwiązywać zadania tego typu razem z objaśnieniami ?
W ogóle nie wiem jak sie zabrać za zadania tego typu.

Czy następujące przekształcenie jest liniowe? Jeżli tak, wyznacz macierz tego przekształcenia w bazie kanonicznej:

\(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = [x_{1}^{2} + x_{2}, x_{2} + x_{3}, 2x_{1} - x_{2} + x_{3}]^{T}}\)

Z góry dziękuję.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 11 lut 2015, o 14:23

Nie, nie jest. \(\displaystyle{ 2f(1,0,0) = [2,0,4]}\), podczas gdy \(\displaystyle{ f(2,0,0) = [4,0,4]}\).

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 11 lut 2015, o 14:30

Chodzi mi raczej o wytłumaczenie jak takie zadanie zrobić, a nie tylko samo określenie czy jest czy nie jest. Oraz wytłumaczenie czym jest samo przekształcenie liniowe.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 11 lut 2015, o 15:27

Przekształcenie liniowe to funkcja, która jest addytywna i jednorodna. Addytywna - funkcja na sumie to suma funkcji, jednorodna - funkcja krotności to krotność funkcji. To nie jest formalne, ale daje jakieś wyobrażenie. Twoja funkcja nie jest jednorodna, bo \(\displaystyle{ 2 f(1,0,0) \neq f(2,0,0)}\), więc nie jest też liniowa.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 11 lut 2015, o 15:38

a czemu 2f ?? i skąd sie wzieły te wartości 1,0,0 w w drugim 2,0,0 ??

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 11 lut 2015, o 15:41

Intuicja. Zauważyłam kwadratowy człon (\(\displaystyle{ x_1^2}\)) w definicji funkcji i użyłam go do tego, by pokazać, że f. nie jest liniowa. Jeżeli nie masz pomysłu, możesz wstawić dowolny argument / mnożnik. Może zadziała.

Piter9414 · Post autor: **Piter9414** » 11 lut 2015, o 15:54

ale to jak bede wstawiał jakieś wartości to jak je interpretować ??

np. f(2,2,2) = [4, 4, 0] a 2f(1, 1, 1) = i nie wiem tutaj dalej co.