Macierz - eliminacja Gaussa. Dobrze to zrobiłem?

[deyna18]

Rozwiązać macierz sposobem eliminacji Gaussa. \(\displaystyle{ a\in [R]}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+3z=1\\-2x+3y-6z=4\\x-3y+a=8 \end{array}}\)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\-2&3&-6&4\\1&-3&a&8\end{array}\right]}\)



Monożąc przez liczbe i dododawać do następnego wyszło mi cos takiego:


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&-1&0&6\\0&-1&-3+a&7\end{array}\right]}\) ----


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&-1&0&6\\0&0&-3+a&1\end{array}\right]}\)


Zrobiłem dotąd i ktoś mi to rozwiązał dalej :

Po pierwsze a to parametr, a Ty potraktowałeś to jako współczynnik stojący przy z. Macierz powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\-2&3&-6&4\\1&-3&0&8-a\end{array}\right]}\)

Nie przejmuj się tym, że stoi tam a, po prostu sprowadź macierz do postaci trójkątnej. Powinno wyjść coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&-1&0&6\\0&0&-3&1-a\end{array}\right]}\)
Z tego od razu widzisz, że\(\displaystyle{ y=-6 , z= \frac{a-1}{3}}\) Znasz już y oraz z więc terz wystarczy to wrzucić do pierwszego równania i dostaniesz x.

Czy to jest dobrze?
Bo nie jestem pewien dlaczego on to \(\displaystyle{ a}\) tak przeniósł.

[kropka+]

Gdyby trzecie równanie było takie: \(\displaystyle{ x-3y+az=8}\) to wtedy Twoje rozwiązanie byłoby poprawne.

Ale ono wygląda tak: \(\displaystyle{ x-3y+a=8}\), więc dobrze Ci powiedział, że \(\displaystyle{ a}\) nie jest współczynnikiem przy zmiennej \(\displaystyle{ z}\) tylko wyrazem wolnym - parametrem i dlatego trzeba je przenieść na prawą stronę równania i dopiero napisać macierz.

[deyna18]

Czyli zawsze jak będziemy mieli jeden parametr \(\displaystyle{ a}\) w macierzy w którymś wierszu to musimy go przenieść na prawą strone a w jego miejsce wpisać \(\displaystyle{ 0}\)?

[kropka+]

Jak będziemy mieli wolny parametr, czyli taki, który nie jest mnożony przez żadną zmienną to przenosimy go na prawą stronę. Trzecie równanie można zapisać \(\displaystyle{ x-3y+0 \cdot z+a=8}\) i stąd jest to zero w macierzy w kolumnie \(\displaystyle{ z}\).

[deyna18]

aha to juz rozumiem. A jak byśmy mieli cos takiego?

Rozwiązać macierz sposobem eliminacji Gaussa. \(\displaystyle{ a\in [R]}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+3z=1\\-2x+3y-6z=4\\x-3y+az=8 \end{array}}\)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\-2&3&-6&4\\1&-3&az&8\end{array}\right]}\)

to wyszło by cos takiego?



\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&-1&0&6\\0&-1&-3+a&7\end{array}\right]}\) ----


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&-1&0&6\\0&0&-3+a&1\end{array}\right]}\)

[kropka+]

Nie. W macierz wpisujemy współczynniki przy zmiennych i wyrazy wolne. Tam nie może być \(\displaystyle{ az}\) tylko \(\displaystyle{ a}\). Czyli trzeci wiersz to \(\displaystyle{ \left[ 1 \ -3 \ a \ 8\right]}\)
Edit.
Widzę, że to \(\displaystyle{ z}\) zniknęło w kolejnych przekształceniach, to chyba wpisałeś je w pierwszej macierzy przez pomyłkę? Jeśli tak, to wszystko jest dobrze.

[deyna18]

No dobra a teraz jak obliczyć \(\displaystyle{ z}\)?

czy obliczając \(\displaystyle{ a}\)?
\(\displaystyle{ -3+a=1}\) to \(\displaystyle{ a=4}\) ??

czy \(\displaystyle{ z=-3+a-1}\) to \(\displaystyle{ z=-4+a}\) kurde własnie nie wiam jak obliczyć to \(\displaystyle{ z}\)?

[kropka+]

Przecież w zadaniu masz trzecie równanie \(\displaystyle{ x-3y+a=8}\) i tak jak kolega napisał dochodzisz do macierzy trójkątnej z trzecim wierszem \(\displaystyle{ \left[0 \ 0 \ -3 \ 1-a \right]}\)

Ten wiersz odpowiada równaniu \(\displaystyle{ -3z=1-a \Rightarrow z= \frac{1-a}{-3}= \frac{a-1}{3}}\)

[deyna18]

ale teraz mi chodzi o inne zadanie jak by nie było samego parametru wolnego tylko tak jak wstawiłem wyżej \(\displaystyle{ az}\). Jak by było coś takiego to jak obilczyć \(\displaystyle{ z}\)?

[kropka+]

No to miałbyś równanie \(\displaystyle{ (-3+a)z=1}\)
Teraz przypadki

\(\displaystyle{ a \neq 3 \Rightarrow z= \frac{1}{a-3}}\)

\(\displaystyle{ a=3}\) to równanie jest sprzeczne, więc cały układ równań jest sprzeczny.