Przekształcenie liniowe.

[Complex]

Mam problem z następującym zadaniem.
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \psi}\) \(\displaystyle{ R^3 \rightarrow R^4}\)
dane jest wzorem \(\displaystyle{ \phi((x, y, z)) = (2x-y, 2z, y-2x, -3z)}\).
Sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ (1, 2, 3)}\) należy do jądra tego przekształcenia. Wyznaczyć rząd przekształcenia \(\displaystyle{ \psi}\).
Zapisać macierze \(\displaystyle{ M^{E3} _{E4}(\psi)}\)
oraz \(\displaystyle{ M^{A} _{B} (\psi)}\), gdy baza \(\displaystyle{ A = ((1, 2, 0),(0, 0, 2),(2, 1, 0))}\),
baza \(\displaystyle{ B = ((1, 0, −1, 0),(0, 2, 0, −1),(2, 0, −1, 0),(0, −1, 0, 1))}\).

Czy dobrze rozumuję, że \(\displaystyle{ M^{E3} _{E4}(\psi)}\) to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0&-2&0\\-1&0&1&0\\0&2&2&-3\end{bmatrix}}\)?

I jak sprawdzić ten wektor oraz rząd przekształcenia?

[Medea 2]

Wektor należy do jądra dokładnie wtedy, gdy wartość przekształcenia na nim to zero.