Udowodnić że nie istnieje przekształcenie liniowe

[Peter Zof]

Udowodnij, że nie istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T : R^{5} \rightarrow R^{5}}\) takie że obraz przekształcenia jest równy jądru przekształcenia.

Rozwiązałem poprzednie zadanie w którym autor kazał znaleźć takie przekształcenie z tym że zamiast \(\displaystyle{ R^{5}}\) było \(\displaystyle{ R^{4}}\), i podałem je jako \(\displaystyle{ T( \vec{x}) = \vec{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{x} \in R^{4}}\).

Czemu takie przekształcenie nie zadziała tutaj?

[Qń]

Rozwiązałem poprzednie zadanie w którym autor kazał znaleźć takie przekształcenie z tym że zamiast \(\displaystyle{ R^{5}}\) było \(\displaystyle{ R^{4}}\), i podałem je jako \(\displaystyle{ T( \vec{x}) = \vec{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{x} \in R^{4}}\).

Przecież w tym wypadku \(\displaystyle{ \ker T = \RR^4}\), a \(\displaystyle{ \textrm{Im} T = \{\vec{0}\}}\), więc żądana równość nie zachodzi.

Zadziała natomiast na przykład \(\displaystyle{ T(x,y,z,w)= (0,0,x,y)}\)

Czemu takie przekształcenie nie zadziała tutaj?

Tutaj nie zadziała żadne, bo suma wymiaru jądra i wymiaru obrazu jest równa pięć, więc w szczególności jądro i obraz nie mogą być takie same, bo wtedy musiałyby mieć wymiar \(\displaystyle{ \frac 52}\).

Q.