Wektory własne macierzy 3x3

[luki1992]

Witam, mam pewien problem z zadaniem, w którym mam wyliczyć wektory własne macierzy. Pominę wstępne rozwiązania, zacinam się na momencie gdy dla lambdy = 0 otrzymuję taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&10&15\\10&20&30\\15&30&45\end{array}\right]}\)

I teraz widać, że 2 i 3 wiersz jest zależny od 1, więc mogę je wyzerować. Wtedy, gdy powiedzmy za x3 podstawię c, to otrzymam wektor własny zależny od dwóch elementów, np:

\(\displaystyle{ x_{1} = -2x_{2} - 3x_{3}}\)

Jak z czegoś takiego utworzyć wektory własne? Będę wdzięczny za wskazówki.

[mortan517]

Można w ten sposób:

\(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3) = (-2x_2 - 3x_3, x_2, x_3)=(-2x_2, x_2, 0) + (-3x_3, 0, x_3)}\)

[luki1992]

Dzięki za odpowiedź, ale teraz jak tę postać sumy zapisać jako wektory własne? Ponadto wektory te trzeba jeszcze znormalizować.

[Sprzedawca]

\(\displaystyle{ (-2x_{2}, x_{2},0)+(-3x_{3}, 0, x_{3})=x_{2}(-2, 1, 0) + x_{3}(-3, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ V_{1}=(-2, 1, 0) \\ V_{2}=(-3, 0, 1)}\)-- 8 lut 2015, o 16:59 --Masz je tylko znormalizować, czy mają być ortogonalne?

[luki1992]

Mają być ortonormalne. I w ogóle można sobie tak tę sumę rozbić na 2 oddzielne wektory?

[Sprzedawca]

Tak, tak to się robi. A co to ortonormalizacji to na początku warto sprawdzić, czy wektory są do siebie prostopadłe, czyli innymi słowy, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy 0, to są wtedy prostopadłe i żeby je zortonormalizować należy jedynie podzielić je przez ich długość. \(\displaystyle{ V_{1} \cdot V_{2}=(-2, 1, 0) \cdot (-3, 0, 1)=6 \neq 0.}\)
Czyli nie są prostopadłe, więc aby wyznaczyć wektory \(\displaystyle{ V_{1}'}\)oraz \(\displaystyle{ V_{2}'}\) musimy posłużyć się algorytmem ortogonalizacji Grama-Schmidta.

Ogólnie wzór przyjmuje postać: \(\displaystyle{ V_{k}'= \frac{V_{k}- \sum_{i=1}^{k-1} s(V_{k}, V_{i}')V_{i}' }{||V_{k}- \sum_{i=1}^{k-1} s(V_{k}, V_{i}')V_{i}' ||_{s}}}\) Gdzie \(\displaystyle{ s(a,b)}\) to naturalny iloczyn skalarny, a \(\displaystyle{ ||a||_{s}}\) jest normą, czyli prosto mówiąc długością tego wektora, który będziesz mieć w liczniku.