Podprzestrzenie wektorowe

[pingwindyktator]

\(\displaystyle{ X, Y \subseteq V}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią wektorową.
\(\displaystyle{ a) X \subseteq Y \Rightarrow \Lin(X) \le \Lin(Y)\\
\\
b) \Lin(X \cap Y) = \Lin(X) \cap \Lin(Y)\\
\\
c) \Lin(X \cup Y) = \Lin(X) + \Lin(Y)\\
\\
d) \Lin(X \cup Y) \le \Lin(X) + \Lin(Y)\\
\\
e) \Lin(X \cup Y) = \Lin(X) \oplus \Lin(Y)}\)

\(\displaystyle{ f: V \rightarrow W}\) - przekształcenie liniowe
\(\displaystyle{ f) \Im(f) \le W\\
\\
g) \ker(f) \le V\\
\\
h) \ker(f) \le \Im(f)\\
\\
i) \dim \ker(f) + \dim \Im(f) = \dim(V)\\
\\
j) \dim \ker(f) + \dim \Im(f) = \dim(W)}\)

Relacja \(\displaystyle{ \le}\) oznacza "jest podprzestrzenią wektorową".

Które z powyższych są prawdziwe?

[yorgin]

Jakieś propozycje? Do czego doszedłeś samodzielnie?

[pingwindyktator]

b) Niech \(\displaystyle{ x \in \Lin(X \cap Y) \Rightarrow x = \alpha _{1} v _{1} + ... + \alpha _{n} v _{n} \wedge v _{1} , ..., v _{n} \in X \cap Y}\), z tego trywialnie wynika, że \(\displaystyle{ x \in \Lin(X) \wedge x \in \Lin(Y)}\). Zawieranie w drugą strone praktycznie tak samo, zatem jest to prawda.

a) Nie powinienem rozważać tutaj definicji podprzestrzeni, prawda? Istotne jest to, czy \(\displaystyle{ \Lin(X) \subseteq \Lin(Y)}\). Dla każdego zbioru wektorów \(\displaystyle{ X}\) zbiór \(\displaystyle{ \Lin(X)}\) jest zamknięty na dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar z ciała.
Zatem każdy wektor \(\displaystyle{ v \in \Lin(X)}\) można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów z \(\displaystyle{ X}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\), zatem \(\displaystyle{ v \in \Lin(Y)}\)

c) prawdziwe właściwie z definicji, stąd wprowadzona funkcja \(\displaystyle{ +}\) na tych zbiorach, dla sumy mnogościowej w ogólnym przypadku nie jest to prawda.

d) prawdziwe ze względu na c)

e) z c) wiemy, że \(\displaystyle{ \Lin(X \cup Y) = \Lin(X) + \Lin(Y)}\), zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ \Lin(X) + \Lin(Y) = \Lin(X) \oplus \Lin(Y)}\), co jest prawdą wtw. kiedy przecięcie \(\displaystyle{ X}\) z \(\displaystyle{ Y}\) jest trywialne.

[yorgin]

a) Nie powinienem rozważać tutaj definicji podprzestrzeni, prawda? Istotne jest to, czy \(\displaystyle{ \Lin(X) \subseteq \Lin(Y)}\). Dla każdego zbioru wektorów \(\displaystyle{ X}\) zbiór \(\displaystyle{ \Lin(X)}\) jest zamknięty na dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalar z ciała.
Zatem każdy wektor \(\displaystyle{ v \in \Lin(X)}\) można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów z \(\displaystyle{ X}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\), zatem \(\displaystyle{ v \in \Lin(Y)}\)

Cokolwiek rozpiętego na zbiorze zawsze jest jakąś przestrzenią, więc wystarczy istotnie sprawdzić zawieranie. A to zostało zrobione poprawnie.

b) Niech \(\displaystyle{ x \in \Lin(X \cap Y) \Rightarrow x = \alpha _{1} v _{1} + ... + \alpha _{n} v _{n} \wedge v _{1} , ..., v _{n} \in X \cap Y}\), z tego trywialnie wynika, że \(\displaystyle{ x \in \Lin(X) \wedge x \in \Lin(Y)}\). Zawieranie w drugą strone praktycznie tak samo, zatem jest to prawda.

Zawieranie w drugą stronę nie jest "praktycznie tak samo", trzeba nieco ostrożności.

c) prawdziwe właściwie z definicji

Ano, definicja jest często niedocenianym narzędziem.

d) prawdziwe ze względu na c)

Ok.

Co z e)?

Dalsze są równie proste, może poza i) oraz j), gdzie pojawia się pewne ważne twierdzenie z algebry.

[pingwindyktator]

b)
\(\displaystyle{ x \in \Lin(X) \cap \Lin(Y)\\
x \in \Lin(X) \wedge x \in \Lin(Y)\\
x = \alpha _{1}v _{1} + ... + \alpha _{n}v _{n} \wedge x = \beta _{1}w _{1} + ... + \beta _{n}w _{n}\\
v _{1}, ..., v _{n} \in X \wedge w _{1}, ..., w _{n} \in Y}\)
Rzeczywiście, z tego nie wynika zawieranie \(\displaystyle{ x \in \Lin(X \cap Y)}\)
\(\displaystyle{ 2x = \alpha _{1} v _{1} + \beta _{1} w _{1} + ... + \alpha _{n} v _{n} + \beta _{n} w _{n}}\), zatem wektory \(\displaystyle{ v _{1}, w _{1}, ..., v _{n}, w _{n}}\) muszą należeć do \(\displaystyle{ X \cap Y}\), co nie jest prawdą w ogólnym przypadku. Mam rację?

e) jest w poście wyżej, został edytowany.

f)
\(\displaystyle{ x \in \Im(f) \\
\Im(f) = \Lin(f(e _{1}), ..., f(e _{n}))}\)
gdzie \(\displaystyle{ (e _{1}, ..., e _{n})}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\), natomiast
\(\displaystyle{ f(e _{1}), ..., f(e _{n}) \in W}\), zatem \(\displaystyle{ x \in W}\)

g) \(\displaystyle{ \ker(f) := \{v \in V : f(v) = \Theta\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \Theta}\) jest wektorem zerowym w przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), zatem trywialnie \(\displaystyle{ \ker(f) \subseteq V}\)

h) \(\displaystyle{ \ker(f) \subseteq V \wedge \Im(f) \subseteq W}\)
przestrzenie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) mogą przecinać się trywialnie, zatem nie jest to prawda.

i) jest prawdziwe z jakiegośtam twierdzonka

j) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)}\)

[yorgin]

co nie jest prawdą w ogólnym przypadku.

Zgadza się. Choć lepiej jest zaprzeczanie poprzeć przykładem.

e) jest w poście wyżej, został edytowany.

Ok. Przeczytałem i wysuwasz dobry wniosek.

f)
\(\displaystyle{ x \in \Im(f) \\
\Im(f) = \Lin(f(e _{1}), ..., f(e _{n}))}\)
gdzie \(\displaystyle{ (e _{1}, ..., e _{n})}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\), natomiast
\(\displaystyle{ f(e _{1}), ..., f(e _{n}) \in W}\), zatem \(\displaystyle{ x \in W}\)

Ale czego to ma dowodzić? Przecież zawieranie \(\displaystyle{ \Im f\subset W}\) wyżej pokazane jest oczywiste z definicji \(\displaystyle{ f}\). Tutaj kluczowe jest pokazanie, że jest to przestrzeń wektorowa.

g) \(\displaystyle{ \ker(f) := \{v \in V : f(v) = \Theta\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \Theta}\) jest wektorem zerowym w przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), zatem trywialnie \(\displaystyle{ \ker(f) \subseteq V}\)

Jak wyżej.

h) \(\displaystyle{ \ker(f) \subseteq V \wedge \Im(f) \subseteq W}\)
przestrzenie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) mogą przecinać się trywialnie, zatem nie jest to prawda.

Ok. Choć lepiej to poprzeć przykładem.

i) jest prawdziwe z jakiegośtam twierdzonka

Nie jakiegośtam, tylko jednego z najważniejszych twierdzeń dotyczących odwzorowań liniowych.

j) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)}\)

Ok.

[pingwindyktator]

Okej, kumam, dzięki wielkie za pomoc.