Obliczyć wartości i wektory własne macierzy.

[BeHappy]

Kto mi pokaże, jak robi się tego typu zadania?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-4&4\\1&-1&8\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)

Liczyć rząd macierzy, doprowadzić do macierzy diagonalnej, jednostkowej czy jak?


@EDIT

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3-\lambda &-4&4\\1&-1-\lambda&8\\0&0&-2-\lambda\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ det(A)=(3-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda)+4(-2-\lambda)=(-2-\lambda)(\lambda-1)^{2}}\)



dla \(\displaystyle{ \lambda=-2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&-4&4&|0\\1&1&8&|0\\0&0& 0&|0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&8&|0\\5&-4&4&|0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&8&|0\\0&-9&-36&|0\\0&0& 0&|0\end{bmatrix}}\)





\(\displaystyle{ -9y-36z=0 \Rightarrow y=-4z}\)

\(\displaystyle{ x-4z+8z=0 \Rightarrow x=-4z}\)

np. dla \(\displaystyle{ z=-1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4 \\ y=4 \\ z=-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ v^{ \rightarrow }=\alpha \cdot \begin{bmatrix} x=4 \\ y=4 \\ z=-1 \end{bmatrix}}\)



dla \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-4&4&|0\\1&-2&8&|0\\0&0& -3&|0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&8&|0\\0&0&0&|0 \\ 0&0&-3&|0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&8&|0\\0&0&-3&|0\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ -3z=0 \Rightarrow z=0}\)

\(\displaystyle{ x-2y+8 \cdot 0=0 \Rightarrow x=2y}\)

np. dla \(\displaystyle{ y=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \\ y=1 \\ z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ v^{ \rightarrow }=\beta \cdot \begin{bmatrix} x=2 \\ y=1 \\ z=0 \end{bmatrix}}\)


Dobrze?

[Gouranga]

wartości własne liczysz tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3 - \lambda&-4&4\\1&-1- \lambda&8\\0&0&-2- \lambda\end{bmatrix}}\)

przyrównujesz teraz wyznacznik tej macierzy do zera i wyjdzie ci równanie wielomianowe z niewiadomą \(\displaystyle{ \lambda}\), obliczasz jego pierwiastki a potem dla każdej obliczonej wartości własnej liczysz wektory własne

[BeHappy]

...

No już znalazłem ten wykład, mógłbyś sprawdzić czy dobrze wyliczyłem?

[Gouranga]

liczysz dobrze ale nas uczono żeby zapisywać to tak:

\(\displaystyle{ -9y-36z=0 \Rightarrow y=-4z
\\
x-4z+8z=0 \Rightarrow x=-4z
\\
z = \alpha\\
\vec{v} = \left[\begin{array}{c} -4\alpha\\ -4\alpha \\ \alpha\end{array}\right]}\)

aczkolwiek nie robi to różnicy bo to co zrobiłeś jest równoznaczne, kwestia przyzwyczajenia

[BeHappy]

liczysz dobrze ale nas uczono żeby zapisywać to tak:

\(\displaystyle{ -9y-36z=0 \Rightarrow y=-4z
\\
x-4z+8z=0 \Rightarrow x=-4z
\\
z = \alpha\\
\vec{v} = \left[\begin{array}{c} -4\alpha\\ -4\alpha \\ \alpha\end{array}\right]}\)

Sprawdź jeszcze to drugie dla: \(\displaystyle{ \lambda=-1}\), bo tam nie wiem czy na pewno 'y' jest parametrem i czy może wyjść jakaś niewiadoma, że jest równa '0'.

[Gouranga]

druga \(\displaystyle{ \lambda = 1 \ne -1}\)

[BeHappy]

druga \(\displaystyle{ \lambda = 1 \ne -1}\)

Wiem po prostu się pomyliłem w zapisie, a liczyłem dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) obliczenia są dobre?

[Gouranga]

są dobre, wszystko się zgadza

[BeHappy]

są dobre, wszystko się zgadza

To zaraz stworzę jeszcze jeden temat z ustalaniem czy układ jest bazą i liczeniem współrzędnych w nowej bazie, bo też nie wiem zbytnio.

Temat: 382508.htm#p5316657

Mógłbyś także pomóc?

[Gouranga]

Niestety na tym już się nie znam, jak były bazy to już nikt nie nadążał u nas z materiałem

[BeHappy]

Niestety na tym już się nie znam, jak były bazy to już nikt nie nadążał u nas z materiałem

Mi się wydaje, że sprawdzić czy są liniowo niezależne, tylko nie wiem czy muszą być wszystkie liniowe niezależne, czy nie. I zaś po prostu wyliczyć metodą Gaussa, poszczególne współrzędne.

A znasz może odpowiedzi na te pytania, bo nie mogę ich znaleźć w notatkach:

"Tw. Kroneckera - Cappelego",
"Podaj definicję ideału pierścienia",
""Co to jest dzielnik zera w pierścieniu?",
"Tw. o uniwersalności monoidów cyklicznych",
"Podaj definicję warstwy prawostronnej w grupie",

Albo chociaż napisać czego one dotyczą własnym słowami, żeby łatwiej mi było je znaleźć w notatkach.