Witam
Macierz przekształcenia ortogonalnego sprowadzającego formę \(\displaystyle{ F(x,y)=5x^2-4xy+2y^2}\), do postaci kanonicznej jest... (jaka?)
czy mógłby ktoś napisać jak należy rozwiązać to zadanie albo podać mi wskazówki jak je zrobić
Macierz przekształcenia ortogonalnego
Macierz przekształcenia ortogonalnego
Ostatnio zmieniony 5 lut 2015, o 13:15 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Macierz przekształcenia ortogonalnego
1)
Macierz \(\displaystyle{ M}\) formy \(\displaystyle{ F}\) w bazie standardowej
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc}5&-2\\-2&2 \end{array}\right]}\)
2)
Wartości własne macierzy \(\displaystyle{ M}\)
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc}5-\lambda & -2\\-2& 2-\lambda \end{array}\right|=0.}\)
\(\displaystyle{ \lambda^{2}-7\lambda +6=0, \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=6.}\)
3)
Wektory własne macierzy \(\displaystyle{ M}\) odpowiadające jej wartościom własnym odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=6.}\)
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc}4&-2\\ -2&1\end{array}\right)\left (\begin{array}{c}a\\b \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\0 \end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ V_{1}=\left(a\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right): a\in R \right).}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ V_{6}=\left(a \left(\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right): a\in R\right).}\)
4)
Macierz przekształcenia ortogonalnego sprowadzająca formę \(\displaystyle{ F}\) do postaci kanonicznej
\(\displaystyle{ P=\left( \begin{array}{cc}\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2\sqrt{5}}{5}\\ \frac{2\sqrt{5}}{5}&-\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right).}\)
Macierz \(\displaystyle{ M}\) formy \(\displaystyle{ F}\) w bazie standardowej
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc}5&-2\\-2&2 \end{array}\right]}\)
2)
Wartości własne macierzy \(\displaystyle{ M}\)
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc}5-\lambda & -2\\-2& 2-\lambda \end{array}\right|=0.}\)
\(\displaystyle{ \lambda^{2}-7\lambda +6=0, \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=6.}\)
3)
Wektory własne macierzy \(\displaystyle{ M}\) odpowiadające jej wartościom własnym odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=6.}\)
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc}4&-2\\ -2&1\end{array}\right)\left (\begin{array}{c}a\\b \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\0 \end{array}\right).}\)
\(\displaystyle{ V_{1}=\left(a\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right): a\in R \right).}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ V_{6}=\left(a \left(\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right): a\in R\right).}\)
4)
Macierz przekształcenia ortogonalnego sprowadzająca formę \(\displaystyle{ F}\) do postaci kanonicznej
\(\displaystyle{ P=\left( \begin{array}{cc}\frac{\sqrt{5}}{5}&\frac{2\sqrt{5}}{5}\\ \frac{2\sqrt{5}}{5}&-\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right).}\)