3 krótkie zadania teoretyczne

[PiotrWP]

1.Jeśli \(\displaystyle{ A \in M_{3\times 3}(\mathbb{R})}\)jest osobliwa, to rząd \(\displaystyle{ A}\) jest równy 2.
2.Układ 8 równań liniowych z 3 niewiadomymi może posiadać nieskończenie wiele rozwiązań.
3.Niech \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}_3[x]}\).Czy \(\displaystyle{ \phi}\) może być osobliwe ?

Przeglądałem testy (trzeba odpowiedzieć tak/nie) i nie mam pomysłu na te zadania.Mógłby ktoś wyjaśnić jakie są odpowiedzi i dlaczego ?

[yorgin]

1. Jaki jest rząd macierzy zerowej?

2. Co, gdy wszystkie równania są proporcjonalne do siebie?

3. \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest trójwymiarowa, \(\displaystyle{ \RR_3[x]}\) jest czterowymiarowa.

[PiotrWP]

1.No 0.Ale macierz osobliwa to nie taka ,dla której jej wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 0}\) ? A jakby było z twierdzeniem odwrotnym ?
2.Pozostaje jedno równanie ,bo pozostałe nic nie wnoszą ?
3.No tak ,ale przekształcenie osobliwe to nie jest przekształcenie nieróżnowartościowe ,czyli takie że \(\displaystyle{ dimKer(\phi)>0}\) ? Bo nie rozumiem co mają do tego wymiary przestrzeni.

[yorgin]

1. A jaki jest wyznacznik macierzy zerowej? I o jakie twierdzenie odwrotne Ci chodzi?

2. Tak. I co z tego wynika na temat ilości rozwiązań?

3. A potrafisz wskazać różnowartościowe odwzorowanie liniowe? Dzięki wymiarom wiadomo od razu, że móżna (gdy wymiar przeciwdziedziny jest mniejszy od dziedziny, to nie można). Ale przecież nic nie stoi na przeszkodzie, by też przyjąć \(\displaystyle{ \phi(x,y,z)=0}\). Dwa skrajne przypadki.

[PiotrWP]

1.Ale przecież macierz osobliwa i macierz zerowa to chyba dwie różne macierze.
Może nie twierdzenie a stwierdzenie odwrotne.Jak rząd równy dwa to jest osobliwa.

2.Nieskończenie wiele.

3.Nie bardzo rozumiem.

[yorgin]

1. Tak, różne. Ale każda macierz zerowa jest osobliwa.

Rząd równy dwa dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) oznacza, że jest osobliwa.

3. Czy jesteś w stanie znaleźć \(\displaystyle{ \phi}\), które jest osobliwe? Co to w ogóle znaczy, że odwzorowanie jest osobliwe?

[PiotrWP]

1.Czyli to ma służyć za kontrprzykład ? Bo nie załapałem.
A co do stwierdzenia odwrotnego ,to na jakiej podstawie takie wnioski ?

3.Osobliwe czyli nieróżnowartościowe (słyszałem że to w zależności od podręcznika różnie się definiuje ,ale u mnie akurat tak).Nie ,ale może to wynikać z mojej małej wprawy podawania przykładów/kontrprzykładów.

[yorgin]

1. Ja nie załapałem, kontrprzykładem do czego co ma być?

3. No to wracamy do początku - czy potrafisz wskazać odwzorowanie różnowartościowe między wymienionymi przestrzeniami (istnieje takie)? Jak wyglądają elementy \(\displaystyle{ \RR_3[x]}\)?

[PiotrWP]

1.No do tego że to nie prawda.

3.Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 3.

[yorgin]

1. Prześledźmy fakty, bo ja nie rozumiem, co to jest "to".

Rząd macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) osobliwej nie musi być równy \(\displaystyle{ 2}\).

Macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\) o rzędzie \(\displaystyle{ 2}\) jest osobliwa.

3. No to jak zamieć wektor z \(\displaystyle{ \RR^3}\) w wielomian stopnia co najwyżej trzeciego tak, by ta zamiana była różnowartościowa?

[PiotrWP]

1.

Rząd macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) osobliwej nie musi być równy \(\displaystyle{ 2}\).

Tutaj chodziło mi o ten przykład z macierzą zerową.

Macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\) o rzędzie \(\displaystyle{ 2}\) jest osobliwa.

Skąd taki wniosek ?

3. Nie wiem.

[yorgin]

1. No a rząd macierzy zerowej to?

Drugi cytat - z rzędu wynika, że \(\displaystyle{ \dim \Im A=2}\), czyli \(\displaystyle{ \dim \ker A=1}\), a więc \(\displaystyle{ A}\) nie jest monomorfizmem/epimorfizmem/izomorfizmem, czyli jest osobliwa.

2. Liczby z wektora \(\displaystyle{ \RR^3}\) na współczynniki wielomianu.

[PiotrWP]

1.OK
2.No ale tu jest \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) a tam \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\)

[yorgin]

W czym problem przyjąć \(\displaystyle{ d=1}\)?

[PiotrWP]

1.Właściwie to jeszcze nie ok.Ten przykład z macierzą zerową rozumiem ,ale nie rozumiem co do stwierdzenia odwrotnego.Przecież nieosobliwość macierzy i przekształcenia to nie to samo.Macierz jest osobliwa jak się jej wyznacznik zeruje ,a przekształcenie jak nie jest różnowartościowe.Co do tego drugiego rozumiem ,bo \(\displaystyle{ \dim\Ker(\phi)=1 \neq 0}\) ,więc przekształcenie jest jest nieróżnowartościowe ,więc osobliwe.Ale co do tego ma wyznacznik macierzy ?

3.Podsumujmy ,tak może istnieć takie że \(\displaystyle{ \dim\Im(\phi)=2}\).Wtedy \(\displaystyle{ \dim\Ker(\phi)=1}\) i przekształcenie nie jest różnowartościowe ,więc jest osobliwe.Dobrze myślę ?