Niekwadratowy układ z parametrem

Asakura · Post autor: **Asakura** » 4 lut 2015, o 19:10

Rozwiąż układ w zależności od parametru \(\displaystyle{ p}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-py-pz=-p\\(p-4)x+y+pz=p \\(p-5)x+py+2z=p\\(p-6)x+py+pz=3\end{cases}}\)

Jak się za to zabrać w ogóle ? Bo Cramera można tylko do kwadratowych, a Kroneck-Capell mi powie tylko ile, a nie jakie rozwiązania.

chris_f · Post autor: **chris_f** » 4 lut 2015, o 19:15

Twierdzenie Koneckera-Capellego powie Ci też, które równania (lub zmienne) można wyeliminować.
Zaczynasz od elementarza, liczysz wyznacznik macierzy głównej i przyrównujesz do zera. Tam gdzie jest różny od zera to będzie jedno rozwiązanie (możesz je wyliczyć choćby ze wzorów Cramera), a szczególne przypadki dla \(\displaystyle{ p}\) to już idzie łatwo.

Asakura · Post autor: **Asakura** » 4 lut 2015, o 19:22

Ale jak policzyć z tego wyznacznik: ?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-p&p\\(p-4)&1&p\\(p-5)&p&2\\(p-6)&p&p\end{bmatrix}}\)

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 4 lut 2015, o 19:58

Masz układ czterech równań z trzema niewiadomymi. Zbadaj tę macierz. Może któreś z równań są liniowo zależne.
Musisz wiedzieć, co robić, jeśli ma się układ równań liniowych, w którym równań jest więcej niż niewiadomych. Popatrz choćby tu: https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... -liniowych

chris_f · Post autor: **chris_f** » 4 lut 2015, o 20:36

Sorry, źle popatrzyłem.
Liczysz wyznacznik ale nie macierzy głównej (to był mój błąd) tylko uzupełnionej.

Znajdujesz wartości \(\displaystyle{ p}\) dla których jest różny od zera, dla nich układ nie będzie miał rozwiązań (bo rząd macierzy uzupełnionej będzie wynosił 4, a głównej nie może być większy od 3). Tak czy inaczej tw. Kroneckera-Capellego rozstrzyga.

Natomiast dla wartości \(\displaystyle{ p}\) dla których wyznacznik będzie równy zero to układ już bada się w konkretnych przypadkach (bez parametru, dla konkretnych wartości).

Asakura · Post autor: **Asakura** » 4 lut 2015, o 21:07

Teraz, mi kolega podpowiedział że jak dodam 1 + 4 to wyjdzie \(\displaystyle{ x=-1}\), także potem już leci >.<-- 4 lut 2015, o 22:17 --Ooo, to co Pan podpowiada, mega sprytne, Dziękuje !