macierz endomorfizmu w róznych bazach.

[Axoi]

Nie wiem jak poradzić sobie z tym zadaniem: Wyznaczyć macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}\left( R\right)}\) danego wzorem:\(\displaystyle{ f\left( x,y,z\right):=\left( z,-y,x\right)}\) Czy istnieje baza w tej przestrzeni w której ta macierz jest diagonalna? Oprócz tego w zadaniu mam wyznaczyć wartości i wektory własne, ale z tym sobie bez problemu poradzę gdy będę miała prawidłową macierz.

Wydaje mi się że ta macierz to:
\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]}\) A baza to:\(\displaystyle{ (0,0,1)(0,-1,0)(1,0,0)}\), ale nie jestem tego pewna.

Prosiłabym tez o jakiś prosty algorytm zapisywania macierzy przekształceń liniowych w danej bazie, nie potrafię sama do niego dojść.

[bg5]

Dla podanej przez Ciebie bazy:

\(\displaystyle{ f((0,0,1))=(1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f((0,-1,0))=(0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ f((1,0,0))=(0,0,1)}\)

Jeśli ma to być macierz przekształcenia z podanej przez Ciebie bazy do bazy kanonicznej, to otrzymane wektory po prostu wpisujemy w macierz (kolumnami). W innym wypadku należałoby dodatkowo zapisać te wektory według współrzędnych w bazie, jaką sobie wybierzemy. A więc:

\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]}\)

A algorytm znajdowania macierzy przekształcenia z bazy A do B wygląda tak:
1. Znajdujemy wartości przekształcenia dla wektorów z bazy A.
2. Zapisujemy otrzymane wektory według współrzędnych w bazie B.
3. Tak otrzymane wektory wpisujemy w macierz (kolumnami).