Macierz z parametrem

mateusz11999944 · Post autor: **mateusz11999944** » 4 lut 2015, o 11:06

Witam,
Nie mam pomyslu na to zadania, czy jest ktos skory do pomocy?
Dla jaakich wartosci parametru p, ponizszy uklad rownan posiada niezerowe rozwiazania?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&2&p\\p&-1&3\\9&5&-1\end{array}\right]}\)

Z gory dzieki, pozdrawiam

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 4 lut 2015, o 11:07

Ale ta macierz reprezentuje macierz główną, czy już rozszerzoną. Jeżeli główną to jakie są wyrazy wolne.

mateusz11999944 · Post autor: **mateusz11999944** » 4 lut 2015, o 11:15

Skrocilem troche,dokladnie bylo takie rownanie
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 5x+2y+pz=0\\px-y+3z=0\\9x+5y-z=0 \end{array}}\)

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 4 lut 2015, o 11:17

Z tw. Cramera gdy wyznacznik główny będzie różny od zera to układ będzie oznaczony i oczywistymi jedynymi rozwiązaniami będą zera. Zatem wyznacznik główny musi być równy zero.

mateusz11999944 · Post autor: **mateusz11999944** » 4 lut 2015, o 11:19

Aaaa, dzieki Wielkie ;D

szachimat · Post autor: **szachimat** » 4 lut 2015, o 12:49

Wyznacznik główny jest równy \(\displaystyle{ 5p^{2}+11p-16}\) i jest on równy 0 dla\(\displaystyle{ p=1 \text{ lub } p=-3,2}\)
A zatem rzeczywiście dla \(\displaystyle{ p \neq 1 \text{ i } p \neq -3,2}\) układ jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie\(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Ale należy jeszcze sprawdzić co będzie dla\(\displaystyle{ p=1 \text{ i } p=-3,2}\). Otóż sprawdzenie pokazuje, że układ będzie nieoznaczony, a zatem będzie posiadał nieskończenie wiele rozwiązań (nie tylko 0,0,0).
Na przykład dla p=1 dobrymi rozwiązaniami są: \(\displaystyle{ x=1, \ y=-2, \ z=-1}\)
Podsumowując otrzymujemy następującą odpowiedź:
Dla \(\displaystyle{ p=0 \text{ lub } p=-3,2}\) układ równań posiada niezerowe rozwiązania.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 4 lut 2015, o 12:56

Układ jest jednorodny, więc nic nie trzeba sprawdzać. Wiadomo, że pozostałe wyznaczniki będą także zerowe.