Mam zdiagonalizować formy kwadratowe:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=\frac{1}{9}(x^2+y^2+7z^2+16xy+8xz-8yz)}\)
oraz
\(\displaystyle{ h(z,w,u)=3z\overline{z}+3w\overline{w}+4u\overline{u}-iw\overline{z}+iz\overline{w}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ z,w,u \in \CC}\).
Poprosiłbym o wytłumaczenie mi tego krok po kroku, bo nigdzie nie mogłem znaleźć klarownego objaśnienia jak diagonalizuje się formy kwadratowe.
Z góry dziękuję
Forma kwadratowa
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Forma kwadratowa
Istnieją co najmniej dwie metody.
Pierwsza to diagonalizacja macierzy formy kwadratowej. W tym celu kojarzysz z daną formą kwadratową odpowiadającą jej macierz, tzn taką macierz \(\displaystyle{ A}\), by
\(\displaystyle{ f(u)=u^TAu}\)
gdzie \(\displaystyle{ u=(x,y,z)}\).
Diagonalizację formy oraz wektory zmiany bazy można odczytać kolejno z wartości i wektorów własnych.
Druga metoda to "ręczne" przekształcenia:
Należy "pozwijać" wszystkie wyrażenia zawierające jedną zmienną, dokonać podstawienia i kontynuować. Wymaga to nieco wysiłkui. Przykładowo chcę zwinąć wszystko z \(\displaystyle{ x}\) do jednego nawiasu z kwadratem. Można tutaj skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ (x+ay+bz)^2}\):
\(\displaystyle{ x^2+y^2+7z^2+16xy+8xz-8yz=\\
\\
((x+8y+4z)^2-63y^2-9z^2-32yz)-8yz}\)
Teraz masz podsawienie \(\displaystyle{ \overline{x}=x+8y+4z}\) i ta formuła podaje również sposób zmiany bazy z kanonicznej na taką, w której forma jest diagonalna. Na tym nie koniec, gdyż trzeba jeszcze analogicznie "poskładać" pozostałą część formy.
Pierwsza to diagonalizacja macierzy formy kwadratowej. W tym celu kojarzysz z daną formą kwadratową odpowiadającą jej macierz, tzn taką macierz \(\displaystyle{ A}\), by
\(\displaystyle{ f(u)=u^TAu}\)
gdzie \(\displaystyle{ u=(x,y,z)}\).
Diagonalizację formy oraz wektory zmiany bazy można odczytać kolejno z wartości i wektorów własnych.
Druga metoda to "ręczne" przekształcenia:
Należy "pozwijać" wszystkie wyrażenia zawierające jedną zmienną, dokonać podstawienia i kontynuować. Wymaga to nieco wysiłkui. Przykładowo chcę zwinąć wszystko z \(\displaystyle{ x}\) do jednego nawiasu z kwadratem. Można tutaj skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ (x+ay+bz)^2}\):
\(\displaystyle{ x^2+y^2+7z^2+16xy+8xz-8yz=\\
\\
((x+8y+4z)^2-63y^2-9z^2-32yz)-8yz}\)
Teraz masz podsawienie \(\displaystyle{ \overline{x}=x+8y+4z}\) i ta formuła podaje również sposób zmiany bazy z kanonicznej na taką, w której forma jest diagonalna. Na tym nie koniec, gdyż trzeba jeszcze analogicznie "poskładać" pozostałą część formy.