Forma kwadratowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
kubitus2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 6 wrz 2014, o 12:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 3 razy

Forma kwadratowa

Post autor: kubitus2 »

Mam zdiagonalizować formy kwadratowe:

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=\frac{1}{9}(x^2+y^2+7z^2+16xy+8xz-8yz)}\)

oraz

\(\displaystyle{ h(z,w,u)=3z\overline{z}+3w\overline{w}+4u\overline{u}-iw\overline{z}+iz\overline{w}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ z,w,u \in \CC}\).

Poprosiłbym o wytłumaczenie mi tego krok po kroku, bo nigdzie nie mogłem znaleźć klarownego objaśnienia jak diagonalizuje się formy kwadratowe.

Z góry dziękuję
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Forma kwadratowa

Post autor: yorgin »

Istnieją co najmniej dwie metody.

Pierwsza to diagonalizacja macierzy formy kwadratowej. W tym celu kojarzysz z daną formą kwadratową odpowiadającą jej macierz, tzn taką macierz \(\displaystyle{ A}\), by

\(\displaystyle{ f(u)=u^TAu}\)

gdzie \(\displaystyle{ u=(x,y,z)}\).

Diagonalizację formy oraz wektory zmiany bazy można odczytać kolejno z wartości i wektorów własnych.



Druga metoda to "ręczne" przekształcenia:

Należy "pozwijać" wszystkie wyrażenia zawierające jedną zmienną, dokonać podstawienia i kontynuować. Wymaga to nieco wysiłkui. Przykładowo chcę zwinąć wszystko z \(\displaystyle{ x}\) do jednego nawiasu z kwadratem. Można tutaj skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ (x+ay+bz)^2}\):

\(\displaystyle{ x^2+y^2+7z^2+16xy+8xz-8yz=\\
\\
((x+8y+4z)^2-63y^2-9z^2-32yz)-8yz}\)


Teraz masz podsawienie \(\displaystyle{ \overline{x}=x+8y+4z}\) i ta formuła podaje również sposób zmiany bazy z kanonicznej na taką, w której forma jest diagonalna. Na tym nie koniec, gdyż trzeba jeszcze analogicznie "poskładać" pozostałą część formy.
ODPOWIEDZ