Znaleźć wzór przekształcenia liniowego, jeśli istnieje.

[sinus alfa]

Czy istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^3}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \phi([2,1,1]) = [2,1,2]}\)
\(\displaystyle{ \phi([2,1,2])=[2,1,1]}\)
\(\displaystyle{ \phi([2,1,3])=[2,1,0]}\)
\(\displaystyle{ \phi([2,1,0])=[2,1,3]}\) ? Jeśli istnieje, to czy jest ono wyznaczone jednoznacznie ?

Nie wiem jak się za to zabrać. :/

[szw1710]

Należy przedstawić jeden z wektorów z dziedziny jako kombinację liniową pozostałych, zastosować definicję przekształcenia liniowego i zobaczyć czy pasuje.

[sinus alfa]

\(\displaystyle{ \phi([2,1,0])=\phi([2,1,1]+[2,1,2]-[2,1,3])}\)
\(\displaystyle{ \phi([2,1,0)]=\phi([2,1,1])+\phi([2,1,2])-\phi[2,1,3]}\)
\(\displaystyle{ \phi([2,1,0])=[2,1,2]+[2,1,1]-[2,1,0]=[2,1,3]}\)

Czy o to chodziło ? Tak jakby się zgadza... i co teraz?

[szw1710]

Te trzy wektory z dziedziny są liniowo zależne. Zrób podobną rzecz z nimi.

[sinus alfa]

\(\displaystyle{ \phi([2,1,2])=\phi([2,1,3]-[2,1,1]+[2,1,0])=...=[2,1,0]-[2,1,2]+[2,1,3]=[2,1,1]}\)

Dalej się zgadza... Czy może mam przedstawić jeden z tych trzech jako kombinację dwóch?

[szw1710]

Właśnie - to wypróbuj.