Na poczatku zrobiłem transponowanie tych wektorow (o ile dobrze kojarzę to tak to powinno wyglądać):Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) dane jest wzorem:
\(\displaystyle{ T((x_1,x_2,x_3)^T) = (2x_1, x_2 + x3)^T}\).
Znaleźć macierz tego przekształcenia, jeśli w przestrzeniach \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \ i \ \mathbb{R}^2}\) dane są odpowiednio bazy:
\(\displaystyle{ ((1,2,0)^T, (1,1,1)^T, (0,0,1)^T) \ oraz \ ((1,2)^T, (0,1)^T)}\)
\(\displaystyle{ (1,2,0)^T = (0,2,1) \\ (1,1,1)^T = (1,1,1) \\ (0,0,1)^T = (1,0,0) \\
(1,2)^T = (2,1) \\ (0,1)^T = (1,0)}\)
To samo z przekształceniem:
\(\displaystyle{ T((x_1,x_2,x_3)^T) = T(x_3,x_2,x_1) \\
= (x_2 + x_3, 2x_1)}\)
Obliczam wektory bazy pierwszej według podanego wzoru:
\(\displaystyle{ T(0,2,1) = (2,2) \\
T(1,1,1) = (2,2) \\
T(1,0,0) = (1,0)}\)
A następnie podstawiam pod wektory z bazy drugiej:
\(\displaystyle{ (2,2) = a * (2,1) + b * (1,0) \Rightarrow (2,2) = (2a+b, a) \Rightarrow a = 2, b = -2 \\
(2,2) = \cdots \Rightarrow c = 2, d = -2 \\
(1,0) = e * (2,1) + b * (1,0) \Rightarrow (1,0) = (2e + f, e) \Rightarrow e = 0, f = 1}\)
I z tego tworzę macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}}\)
Czy to jest dobre rozwiązanie?