Proszę o pomoc przy obliczaniu wyznacznika macierzy typu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&2&0.....0\\1&3&2.....0\\0&1&3.....0\\...&...&...\\0&0&0.....3\end{array}\right]}\)
odpowiedź: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccc}5&6&0&0&0.....0&0\\4&5&2&0&0.....0&0\\0&1&3&2&0.....0&0\\0&0&1&3&2.....0&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&0&0.....3&2\\0&0&0&0&0.....1&3\end{array}\right]}\)
odpowiedź: \(\displaystyle{ 9-2^{n+1}}\)
Będę wdzięczna za każdą wskazówkę dotyczącą tego jak dojść do takich wyników.
Wyznacznik macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 2 lut 2015, o 18:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Wyznacznik macierzy
Indukcyjnie. Najpierw sprawdź, że pasuje dla macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3 \times 3}\)
Oznaczając wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jako \(\displaystyle{ M_{n}}\) masz rozwinięcie Laplace'a po ostatniej kolumnie:
\(\displaystyle{ M_{n+1} = (-1)^{(n+1)+(n+1)}\cdot 3\cdot M_{n} + (-1)^{n + (n+1)} \cdot 2 \cdot K_{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K_{n}}\) jest wyznacznikiem macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\), w której dolny wiersz zastąpiono przez \(\displaystyle{ [0 0 0 .... 0 1]}\). Czyli wyznacznik ten można obliczyć jako \(\displaystyle{ (-1)^{n+n}\cdot 1\cdot M_{n-1}}\)
Oznaczając wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jako \(\displaystyle{ M_{n}}\) masz rozwinięcie Laplace'a po ostatniej kolumnie:
\(\displaystyle{ M_{n+1} = (-1)^{(n+1)+(n+1)}\cdot 3\cdot M_{n} + (-1)^{n + (n+1)} \cdot 2 \cdot K_{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K_{n}}\) jest wyznacznikiem macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\), w której dolny wiersz zastąpiono przez \(\displaystyle{ [0 0 0 .... 0 1]}\). Czyli wyznacznik ten można obliczyć jako \(\displaystyle{ (-1)^{n+n}\cdot 1\cdot M_{n-1}}\)